Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

Geometria Espacial: volume de pirâmide dentro do cubo

Gabarito: letra D — a razão entre o volume do cubo e o volume da pirâmide de base BQOM e vértice N é $\frac{72}{7}$. O caminho é: fixar a aresta do cubo como $a$, calcular o volume do cubo ($a^3$), identificar a base da pirâmide como um trapézio no plano da face ABCD e sua altura como a distância de N a esse plano, e então aplicar a fórmula do volume da pirâmide $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.

O problema mistura dois conceitos de geometria espacial: o volume do cubo e o volume de uma pirâmide cuja base não é uma face do cubo, mas um polígono desenhado sobre uma de suas faces. A chave está em enxergar que a base BQOM é um trapézio contido na face ABCD, e que o vértice N está na aresta EH, que é paralela e oposta à aresta AB. Como N pertence à face EFGH, que é paralela à face ABCD, a distância de N até o plano da base é exatamente a aresta do cubo.

Vamos adotar a aresta do cubo como $a$. O volume do cubo é $V_{cubo} = a^3$. Agora, precisamos da área da base BQOM. Os pontos são: B e C são vértices da face ABCD; P e Q dividem a aresta BC em três partes iguais, então $BP = PQ = QC = \frac{a}{3}$. O ponto O é a intersecção das diagonais da face ABCD, ou seja, o centro do quadrado. O ponto M é o ponto médio da aresta AB, então $AM = MB = \frac{a}{2}$.

A base BQOM é um quadrilátero com vértices B, Q, O e M. Para calcular sua área, podemos decompô-la em triângulos. Uma forma eficiente é usar a área do quadrado ABCD e subtrair as áreas dos triângulos que ficam fora do quadrilátero. O quadrado ABCD tem área $a^2$. Os triângulos que ficam de fora são: $\triangle AMO$, $\triangle BMO$ e $\triangle QCO$. Vamos calcular cada um.

O triângulo $\triangle AMO$ tem base $AM = \frac{a}{2}$ e altura igual à distância de O até AB, que é $\frac{a}{2}$ (pois O é o centro do quadrado). Sua área é $\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$. O triângulo $\triangle BMO$ tem base $BM = \frac{a}{2}$ e altura também $\frac{a}{2}$, então sua área é $\frac{a^2}{8}$. O triângulo $\triangle QCO$ tem base $QC = \frac{a}{3}$ e altura igual à distância de O até BC, que é $\frac{a}{2}$. Sua área é $\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{12}$.

Somando as áreas dos três triângulos: $\frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{12} = \frac{3a^2}{24} + \frac{3a^2}{24} + \frac{2a^2}{24} = \frac{8a^2}{24} = \frac{a^2}{3}$. Portanto, a área da base BQOM é $A_{base} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$.

A altura da pirâmide é a distância do vértice N ao plano da base ABCD. Como N está na aresta EH, que pertence à face EFGH, paralela a ABCD, a distância é $a$. Assim, o volume da pirâmide é $V_{pir} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2a^2}{3} \cdot a = \frac{2a^3}{9}$.

Finalmente, a razão pedida é $\frac{V_{cubo}}{V_{pir}} = \frac{a^3}{\frac{2a^3}{9}} = \frac{9}{2}$. Mas isso não bate com o gabarito. Vamos revisar: a base BQOM não é um quadrilátero simples; na verdade, os pontos B, Q, O e M formam um trapézio, e a área que calculamos por subtração está correta? Vamos verificar com um exemplo numérico. Se $a = 6$, então $BP = PQ = QC = 2$, $AM = MB = 3$, e O é o centro. A área do quadrado é 36. Os triângulos de fora: $\triangle AMO$ tem área $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$, $\triangle BMO$ tem área $4.5$, e $\triangle QCO$ tem área $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$. A soma é 12, então a área de BQOM é $36 - 12 = 24$. O volume da pirâmide é $\frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 48$. O volume do cubo é 216. A razão é $\frac{216}{48} = \frac{9}{2} = 4.5$. Isso não corresponde a nenhuma alternativa. Portanto, nossa interpretação da base está incorreta.

Precisamos reconsiderar a geometria. A base BQOM é um quadrilátero com vértices B, Q, O e M, mas a ordem dos vértices importa. Na figura, B e Q estão na aresta BC, O é o centro, e M é o ponto médio de AB. O quadrilátero BQOM é um trapézio com bases BQ e OM? Vamos calcular diretamente. A base BQ tem comprimento $BQ = BP + PQ = \frac{a}{3} + \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$. A base OM é um segmento que liga o centro O ao ponto médio M de AB. Para calcular OM, podemos usar coordenadas. Colocando o quadrado ABCD no plano cartesiano com A=(0,0), B=(a,0), C=(a,a), D=(0,a). Então M=(a/2,0), O=(a/2,a/2). A distância OM é $\frac{a}{2}$. As bases BQ e OM são paralelas? BQ está sobre BC, que é vertical (x=a), e OM é horizontal (y=a/2). Não são paralelas. Então BQOM não é um trapézio com essas bases. Na verdade, o quadrilátero BQOM tem lados BQ (vertical), QO (diagonal), OM (horizontal) e MB (horizontal). Isso forma um trapézio retângulo? Vamos ver: MB é horizontal, OM é horizontal, então MB e OM são paralelas. BQ é vertical, e QO é diagonal. Portanto, as bases paralelas são MB e OM. MB = a/2, OM = a/2. A altura entre elas é a distância horizontal entre as retas y=0 e y=a/2, que é a/2. Então a área do trapézio é $\frac{(MB + OM)}{2} \cdot \text{altura} = \frac{(a/2 + a/2)}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$. Mas isso também não bate com o volume esperado.

Vamos tentar outra abordagem: calcular a área de BQOM como a soma das áreas dos triângulos BQO e BOM. O triângulo BQO tem base BQ = 2a/3 e altura igual à distância de O até BC, que é a/2. Área = $\frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{6}$. O triângulo BOM tem base BM = a/2 e altura igual à distância de O até AB, que é a/2. Área = $\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$. Somando: $\frac{a^2}{6} + \frac{a^2}{8} = \frac{4a^2}{24} + \frac{3a^2}{24} = \frac{7a^2}{24}$. Então a área da base é $\frac{7a^2}{24}$. O volume da pirâmide é $\frac{1}{3} \cdot \frac{7a^2}{24} \cdot a = \frac{7a^3}{72}$. A razão é $\frac{a^3}{\frac{7a^3}{72}} = \frac{72}{7}$. Isso corresponde à alternativa D.

Portanto, a área da base BQOM é $\frac{7a^2}{24}$, e a razão é $\frac{72}{7}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{84}{13}$ não corresponde a nenhuma combinação correta das áreas. Provavelmente o candidato errou ao calcular a área da base, talvez usando uma decomposição incorreta dos triângulos ou confundindo a altura da pirâmide.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{72}{13}$ sugere que o candidato acertou o numerador 72, mas errou o denominador, talvez por um erro no cálculo da área da base (por exemplo, usando $\frac{13a^2}{24}$ em vez de $\frac{7a^2}{24}$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{144}{7}$ é o dobro da resposta correta. Isso pode ocorrer se o candidato esqueceu de dividir por 3 na fórmula do volume da pirâmide, ou se calculou a área da base como $\frac{7a^2}{12}$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A área da base BQOM é $\frac{7a^2}{24}$, a altura da pirâmide é $a$, então o volume é $\frac{7a^3}{72}$. A razão entre o volume do cubo ($a^3$) e o volume da pirâmide é $\frac{72}{7}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{144}{13}$ não corresponde a nenhum cálculo correto. Pode ser resultado de uma combinação de erros na área da base e na altura.

Gabarito: letra D