Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

Geometria Espacial: ângulos no cubo

Gabarito: letra E — o valor de cos²α é 37/73. A resolução exige localizar os pontos no cubo, calcular as distâncias relevantes e aplicar a lei dos cossenos no triângulo QNQ', usando a relação fundamental da trigonometria para obter cos²α.

A ideia por trás

O problema mistura geometria espacial com trigonometria. Precisamos visualizar o cubo, identificar as posições dos pontos M, N, O, P, Q e Q', e então calcular o cosseno do ângulo α = ∠QNQ'. A estratégia é reduzir o problema a um triângulo plano, calculando os comprimentos dos lados e aplicando a lei dos cossenos.

Vamos adotar um sistema de coordenadas para facilitar. Seja o cubo de aresta 1 (podemos escolher qualquer valor, pois o resultado é uma razão). Coloquemos:

• A = (0,0,0)

• B = (1,0,0)

• C = (1,1,0)

• D = (0,1,0)

• E = (0,0,1)

• F = (1,0,1)

• G = (1,1,1)

• H = (0,1,1)

Assim, a face ABCD está no plano z=0 e a face EFGH no plano z=1.

Localizando os pontos:

• M é ponto médio de AB: M = (0.5, 0, 0)

• N é ponto médio de EH: E = (0,0,1), H = (0,1,1) → N = (0, 0.5, 1)

• O é a intersecção das diagonais da face ABCD (centro do quadrado): O = (0.5, 0.5, 0)

• P e Q sobre BC, com BP = PQ = QC. Como BC tem comprimento 1, cada segmento mede 1/3. B = (1,0,0), C = (1,1,0). Então:

  • P = (1, 1/3, 0)

  • Q = (1, 2/3, 0)

• Q' sobre FG tal que QQ' ⊥ FG. FG é a aresta que vai de F = (1,0,1) a G = (1,1,1), ou seja, é paralela ao eixo y, no plano x=1, z=1. O ponto Q tem coordenadas (1, 2/3, 0). Para que QQ' seja perpendicular a FG, Q' deve ter a mesma coordenada y de Q, mas com z=1 (pois FG está em z=1). Assim, Q' = (1, 2/3, 1).

Calculando as distâncias no triângulo QNQ':

• QN: Q = (1, 2/3, 0), N = (0, 0.5, 1). A distância é:

  $QN = \sqrt{(1-0)^2 + (2/3 - 0.5)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1 + (1/6)^2 + 1} = \sqrt{2 + 1/36} = \sqrt{73/36} = \frac{\sqrt{73}}{6}$

• QQ': Q = (1, 2/3, 0), Q' = (1, 2/3, 1). Distância = 1 (diferença apenas em z).

• NQ': N = (0, 0.5, 1), Q' = (1, 2/3, 1). Distância:

  $NQ' = \sqrt{(1-0)^2 + (2/3 - 0.5)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1 + (1/6)^2} = \sqrt{1 + 1/36} = \sqrt{37/36} = \frac{\sqrt{37}}{6}$

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo QNQ':

O ângulo α = ∠QNQ' é o ângulo no vértice N. Pela lei dos cossenos:

Substituindo:

Multiplicando por 36:

Calculando cos²α:

Agora, simplificamos a fração. 2701 = 37 × 73. Portanto:

Alternativa A — ❌ Incorreta

29/92 não corresponde ao resultado. Esse valor provavelmente surge de um erro no cálculo das distâncias, como confundir as coordenadas de Q ou N, ou aplicar incorretamente a lei dos cossenos. Não há relação direta com os comprimentos corretos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

23/32 é outro valor incorreto. Pode resultar de um erro ao calcular QN ou NQ', talvez esquecendo a componente z na distância QN, ou errando a simplificação da fração final. Não é o valor obtido com os cálculos corretos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

35/53 não é o valor correto. Esse número pode vir de uma confusão entre as distâncias ou de um erro na aplicação da lei dos cossenos, como inverter os lados ou esquecer o termo 2·QN·NQ'. Não corresponde ao resultado esperado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

13/31 é um valor incorreto. Provavelmente resulta de um erro na localização dos pontos, como considerar Q em uma posição errada sobre BC, ou errar o cálculo de NQ'. Não é o valor obtido com a resolução correta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

37/73 é exatamente o valor de cos²α. A resolução correta envolve:

1. Localizar corretamente todos os pontos no cubo.

2. Calcular as distâncias QN, QQ' e NQ' usando o teorema de Pitágoras no espaço.

3. Aplicar a lei dos cossenos no triângulo QNQ'.

4. Simplificar a fração resultante, notando que 2701 = 37 × 73.

O passo crucial é perceber que QQ' é perpendicular a FG, o que fixa a coordenada z de Q' como 1, mantendo a mesma coordenada y de Q. Isso permite calcular as distâncias corretamente.

Gabarito: letra E