Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — VUNESP 2025

Equações Polinomiais e Relações de Girard

Gabarito: letra C — a raiz c pertence ao intervalo ]2, 4]. Aplicando as relações de Girard à equação $9x^3 - 36x^2 + 29x + 14 = 0$ e usando a condição $b(a+c) = 4$, encontramos as raízes $a = -\frac{1}{3}$, $b = 2$ e $c = \frac{7}{3}$, e $\frac{7}{3} \approx 2{,}33$ está no intervalo ]2, 4].

A ideia por trás

Para um polinômio do terceiro grau $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ com raízes $r_1$, $r_2$ e $r_3$, as relações de Girard estabelecem:

• Soma das raízes: $r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}$

• Soma dos produtos dois a dois: $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \frac{c}{a}$

• Produto das raízes: $r_1r_2r_3 = -\frac{d}{a}$

No nosso caso, $a = 9$, $b = -36$, $c = 29$ e $d = 14$. Portanto:

• $a + b + c = -\frac{-36}{9} = 4$

• $ab + ac + bc = \frac{29}{9}$

• $abc = -\frac{14}{9}$

A condição dada é $b(a+c) = 4$. Como $a + b + c = 4$, temos $a + c = 4 - b$. Substituindo na condição:

$b(4 - b) = 4 \Rightarrow 4b - b^2 = 4 \Rightarrow b^2 - 4b + 4 = 0 \Rightarrow (b-2)^2 = 0 \Rightarrow b = 2$

Agora, com $b = 2$, temos $a + c = 2$ e $abc = 2ac = -\frac{14}{9}$, logo $ac = -\frac{7}{9}$.

Temos um sistema:

• $a + c = 2$

• $ac = -\frac{7}{9}$

Resolvendo, $a$ e $c$ são raízes da equação $t^2 - 2t - \frac{7}{9} = 0$. Multiplicando por 9: $9t^2 - 18t - 7 = 0$.

$\Delta = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 324 + 252 = 576$

$t = \frac{18 \pm 24}{18}$, logo $t = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$ ou $t = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$.

Como $a < b < c$, temos $a = -\frac{1}{3}$, $b = 2$ e $c = \frac{7}{3}$.

Verificação

$c = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$. O intervalo ]2, 4] inclui todos os números maiores que 2 e menores ou iguais a 4. Como $2 < \frac{7}{3} < 4$, a alternativa correta é a letra C.

Pegadinha

A banca não pede para calcular as raízes diretamente, mas sim para usar as relações de Girard e a condição extra para encontrar uma delas. O candidato que tenta resolver a equação cúbica por fatoração ou pelo Teorema das Raízes Racionais pode perder tempo. A chave é perceber que a condição $b(a+c) = 4$ combinada com a soma das raízes permite encontrar $b$ imediatamente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo ]6, 8] é muito alto. A raiz $c$ é $\frac{7}{3} \approx 2{,}33$, que está bem abaixo de 6. Esse distrator pode surgir se o candidato errar o sinal na soma das raízes ou confundir a ordem das raízes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo ]0, 2] é quase correto, mas exclui o valor 2 e inclui valores menores que 2. Como $c = \frac{7}{3} > 2$, não pertence a esse intervalo. Esse distrator é perigoso porque $b = 2$ está nesse intervalo, mas a questão pede $c$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A raiz $c = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$ está no intervalo ]2, 4], pois $2 < \frac{7}{3} < 4$. As relações de Girard e a condição $b(a+c) = 4$ nos levaram a esse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo ]4, 6] é alto demais. A raiz $c$ é menor que 4. Esse distrator pode surgir se o candidato errar o cálculo de $b$ ou das raízes da equação quadrática auxiliar.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo ]8, 10[ é muito alto. A raiz $c$ é aproximadamente 2,33, que está muito abaixo de 8. Esse distrator é claramente errado e provavelmente foi colocado para testar se o candidato tem noção da magnitude das raízes.

Gabarito: letra C