Questão de Matemática — Função Composta — VUNESP 2025

Função Composta e Domínio

Gabarito: letra A. A composição $m(x) = f(g(h(x)))$ com $h(x) = x - 2$ e domínio $D(m) = \mathbb{R}\setminus\{2\}$ indica que a função $g$ deve ter uma restrição em seu domínio que, após a translação de $h$, exclua o ponto $x = 2$. Isso ocorre quando $g$ é a função recíproca $g(x) = \frac{1}{x}$, pois $g(h(x)) = \frac{1}{x-2}$ não está definida em $x = 2$. A função $f$ é a modular, $f(x) = |x|$, que não altera o domínio. Portanto, $f$ é modular e $g$ é recíproca.

A composição de funções é uma operação que aplica uma função ao resultado de outra. Dadas $f$, $g$ e $h$, a composta $m(x) = f(g(h(x)))$ significa que primeiro aplicamos $h$ a $x$, depois $g$ ao resultado, e finalmente $f$ ao resultado anterior. O domínio da função composta é o conjunto de valores de $x$ para os quais todas as etapas estão definidas. Em outras palavras, $x$ deve pertencer ao domínio de $h$, $h(x)$ deve pertencer ao domínio de $g$, e $g(h(x))$ deve pertencer ao domínio de $f$.

No problema, $h(x) = x - 2$ é uma função afim, definida para todos os reais. O domínio de $m$ é $\mathbb{R}\setminus\{2\}$, ou seja, todos os reais exceto $2$. Isso significa que a composição falha apenas em $x = 2$. Como $h(2) = 0$, a falha ocorre porque $g(0)$ não está definido. A função recíproca $g(x) = \frac{1}{x}$ tem exatamente essa propriedade: não está definida em $x = 0$. Assim, $g(h(x)) = \frac{1}{x-2}$ tem domínio $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. A função modular $f(x) = |x|$ está definida para todos os reais, então não adiciona restrições. Portanto, a única combinação que produz o domínio dado é $f$ modular e $g$ recíproca.

Vamos verificar as outras combinações. A função logarítmica $g(x) = \log(x)$ tem domínio $x > 0$, o que exigiria $h(x) > 0$, ou seja, $x > 2$, resultando em domínio $(2, \infty)$, não $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. A função exponencial $g(x) = e^x$ está definida para todos os reais, então não criaria a restrição em $x = 2$. A função modular $g(x) = |x|$ também está definida para todos os reais. Portanto, apenas a recíproca gera a exclusão do ponto $2$.

A pegadinha desta questão está em associar o domínio restrito à função que o causa. O candidato pode pensar que a restrição vem de $f$, mas é $g$ que introduz a indeterminação. A função modular é um distrator comum, pois seu gráfico tem um "bico" na origem, mas isso não afeta o domínio.

Guarde o critério: o domínio da composta é determinado pela função mais interna que impõe restrições. Neste caso, $h$ é uma translação, e a restrição em $x = 2$ só pode vir de $g$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que $f$ é modular e $g$ é recíproca. Isso está correto: $f(x) = |x|$ e $g(x) = \frac{1}{x}$. A composição $m(x) = |\frac{1}{x-2}|$ tem domínio $\mathbb{R}\setminus\{2\}$, exatamente como pedido. A função modular não restringe o domínio, e a recíproca exclui o ponto onde o denominador é zero.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $f$ é logarítmica e $g$ é exponencial. Se $g(x) = e^x$, então $g(h(x)) = e^{x-2}$ está definida para todos os reais, e o domínio de $m$ seria $\mathbb{R}$, não $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. A função exponencial não cria restrição alguma.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $f$ é recíproca e $g$ é exponencial. Se $g(x) = e^x$, o domínio de $g(h(x))$ é $\mathbb{R}$, e $f(x) = \frac{1}{x}$ exigiria $g(h(x)) \neq 0$, o que nunca ocorre com a exponencial. Portanto, o domínio seria $\mathbb{R}$, não $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $f$ é exponencial e $g$ é modular. Se $g(x) = |x|$, então $g(h(x)) = |x-2|$ está definida para todos os reais, e o domínio de $m$ seria $\mathbb{R}$, não $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. A função modular não exclui nenhum ponto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $f$ é modular e $g$ é logarítmica. Se $g(x) = \log(x)$, então $g(h(x)) = \log(x-2)$ exige $x-2 > 0$, ou seja, $x > 2$. O domínio seria $(2, \infty)$, não $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. A função logarítmica restringe o domínio a um intervalo, não a um único ponto.

A regra de ouro: para identificar a função que causa a restrição no domínio da composta, procure a função que não está definida em algum ponto do contradomínio da função interna. A recíproca é a única que exclui um único ponto.

Gabarito: letra A