Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 47,8 cm — alternativa D.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo é o anterior somado a um valor fixo, chamado razão. Aqui, os lados maiores dos retângulos formam uma PA: o menor é o lado do quadrado Q, e o maior é 25 cm. A área de um retângulo é o produto do lado menor pelo lado maior, então a soma das áreas é o lado menor vezes a soma dos lados maiores.

A soma dos n primeiros termos de uma PA é Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2. Como a soma das áreas é x vezes a soma dos lados maiores, temos 2352 = x · (x + 25)·21/2. Essa equação permite achar x. Depois, com o primeiro termo e o último, achamos a razão r = (a₂₁ − a₁)/20. O retângulo R é o 10º maior, ou seja, o 12º termo na ordem crescente (pois 21 − 10 + 1 = 12).

Esta questão cobra a relação entre PA e áreas: precisamos montar a equação da soma das áreas para achar o lado do quadrado, depois a razão da PA, e então localizar o termo correspondente ao retângulo R para calcular seu perímetro.

O que a questão dá

• 21 retângulos

• um deles é o retângulo R (10ª maior área)

• um deles é o quadrado Q (menor área)

• lado menor de cada retângulo = lado do quadrado Q

• lados maiores formam uma PA

• lado maior do retângulo de maior área = 25 cm

• soma das áreas de todos os retângulos = 2352 cm²

O que queremos: o perímetro do retângulo R

Passo 1 — Montar a equação da soma das áreas

Temos a soma total das áreas e sabemos que cada área é o lado menor x vezes o lado maior correspondente. Como os lados maiores formam uma PA, a soma deles é a soma dos termos da PA. Isso nos dá uma equação para achar x.

Por que esta fórmula: A soma das áreas é x·(a₁ + a₂ + ... + a₂₁). A soma dos termos de uma PA é (primeiro + último)·n/2. Aqui, o primeiro termo é x (lado do quadrado) e o último é 25 cm.

De onde vem cada valor: $2352$ = enunciado: soma das áreas · $x$ = definição: lado do quadrado Q (primeiro termo da PA) · $25$ = enunciado: lado maior do retângulo de maior área (último termo) · $21$ = enunciado: número de retângulos

Passo 2 — Resolver a equação do segundo grau

A equação anterior é do segundo grau em x. Precisamos isolá-la para achar o valor do lado do quadrado.

Por que esta fórmula: A equação é x² + 25x − 224 = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √Δ)/(2a), com Δ = b² − 4ac.

De onde vem cada valor: $-25$ = constante: coeficiente b da equação (oposto de 25) · $25^{2}$ = constante: 25 ao quadrado · $-4 \cdot 1 \cdot (-224)$ = constante: -4 vezes a (1) vezes c (-224) · $2 \cdot 1$ = constante: 2 vezes a (1)

Passo 3 — Achar a razão da progressão aritmética

Com o primeiro termo (7) e o último (25) e sabendo que são 21 termos, podemos calcular a razão r, que é o quanto cada lado maior aumenta de um retângulo para o próximo.

Por que esta fórmula: O termo geral de uma PA é aₙ = a₁ + (n−1)·r. Para o último termo, n=21, então 25 = 7 + 20r.

De onde vem cada valor: $25$ = enunciado: último termo · $7$ = passo 2: primeiro termo · $20$ = constante: 21 − 1

Passo 4 — Localizar o termo do retângulo R

O retângulo R é o 10º maior em área. Como a área é x vezes o lado maior e x é constante, a ordem das áreas é a mesma ordem dos lados maiores. O 10º maior lado é o 12º termo na ordem crescente, pois 21 − 10 + 1 = 12.

Por que esta fórmula: Usamos o termo geral da PA: a₁₂ = a₁ + (12−1)·r.

De onde vem cada valor: $7$ = passo 2: primeiro termo · $11$ = constante: 12 − 1 · $0{,}9$ = passo 3: razão

Passo 5 — Calcular o perímetro do retângulo R

O perímetro de um retângulo é a soma do dobro do lado menor com o dobro do lado maior. Já temos o lado menor (7 cm) e o lado maior do retângulo R (16,9 cm).

Por que esta fórmula: Perímetro = 2·(lado menor + lado maior).

De onde vem cada valor: $7$ = passo 2: lado do quadrado Q · $16{,}9$ = passo 4: lado maior do retângulo R

Resposta: 47,8 cm — alternativa D