Questão de Matemática — Outros Tópicos e Questões Mescladas sobre Circunferência e Círculo — VUNESP 2025

Construção geométrica: segmento NB

Gabarito: letra B — o segmento NB mede $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. A construção gera um triângulo retângulo OMB, e o ponto N divide o segmento MB de modo que NB = MB − MN; como MN é o raio da circunferência de centro M (igual a OM = 1/2), basta calcular MB pela relação de Pitágoras no triângulo OMB e subtrair 1/2.

A ideia por trás da construção

A questão descreve uma construção clássica com régua e compasso, típica do livro C.Q.D. de Gilberto Garbi. O objetivo é obter um segmento cujo comprimento seja uma expressão com radical — no caso, a razão áurea relacionada. Vamos reconstruir a figura passo a passo, pois é isso que permite enxergar o triângulo retângulo escondido.

1. Circunferência inicial: centro O, raio R = 1 (o enunciado fixa a medida unitária).

2. Diâmetro AOB: A e B são extremidades opostas, então OB = 1.

3. Raio OP perpendicular a AOB: P está na circunferência, OP = 1, formando 90° com o diâmetro.

4. M é ponto médio de OP: OM = MP = 1/2.

5. Une-se M a B: forma-se o segmento MB.

6. Circunferência de centro M e raio OM: raio = 1/2. Essa circunferência cruza MB no ponto N.

O ponto N está sobre o segmento MB, e como N pertence à circunferência de centro M, a distância MN é exatamente o raio dessa circunferência, ou seja, MN = OM = 1/2. Portanto, NB = MB − MN = MB − 1/2.

Calculando MB

O triângulo OMB é retângulo em O, pois OP é perpendicular a AOB, e M está sobre OP. Assim:

• Cateto OM = 1/2

• Cateto OB = 1

• Hipotenusa MB = ?

Pelo Teorema de Pitágoras:

Agora, subtraindo MN = 1/2:

Por que essa construção é famosa?

O segmento NB obtido tem medida $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0,618$, que é o inverso da razão áurea ($\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$). Essa construção é um método clássico para obter a secção áurea de um segmento com régua e compasso — um dos problemas que fascinavam os geômetras gregos e que aparece em livros de construção geométrica como o citado.

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre quem é o raio da circunferência de centro M. Muitos candidatos, ao verem "circunferência de centro M e raio OM", podem pensar que o raio é OM = 1/2, mas depois erram ao calcular MB, esquecendo que o triângulo OMB é retângulo e que a hipotenusa é MB. Outro erro comum é somar em vez de subtrair: como N está entre M e B, o segmento NB é a diferença MB − MN, não a soma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ seria o resultado se, após calcular MB = $\frac{\sqrt{5}}{2}$, o candidato dividisse por 2 em vez de subtrair 1/2. É um distrator que mistura a operação errada (divisão) com o valor correto de MB.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado: MB = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ e MN = 1/2, logo NB = $\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. É exatamente a medida do segmento procurado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ é a razão áurea $\varphi$, que seria obtida se o candidato somasse MB + MN em vez de subtrair, ou se confundisse o segmento NB com o segmento MB + MN. É o inverso do valor correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ resulta de somar 1/2 a MB e depois dividir por 2, ou de calcular $\frac{MB + MN}{2}$. Não corresponde a nenhuma relação direta da construção.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{5}+1}{8}$ é um valor que não surge de nenhuma operação natural com os dados da construção. Provavelmente foi gerado por uma combinação arbitrária de operações com $\sqrt{5}$ e os números 1, 2 e 4.

Gabarito: letra B