Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu218972

Função composta e interseção com a identidade

Gabarito: letra C — as abscissas são 1 e −2. A interseção de $f(f(x))$ com a função identidade $y = x$ ocorre quando $f(f(x)) = x$ ; resolvendo essa equação, obtemos $x = 1$ (primeiro quadrante) e $x = -2$ (terceiro quadrante).

O que a questão pede

Temos a função $f(x) = \frac{x+2}{2-x} - 2$ . Precisamos encontrar os pontos onde o gráfico de $f(f(x))$ cruza o gráfico da função identidade $g(x) = x$ . Isso significa resolver a equação:

f(f(x)) = x

Vamos calcular $f(f(x))$ passo a passo. Primeiro, reescrevemos $f(x)$ de forma mais conveniente:

f(x) = \frac{x+2}{2-x} - 2 = \frac{x+2 - 2(2-x)}{2-x} = \frac{x+2 - 4 + 2x}{2-x} = \frac{3x - 2}{2-x}

Agora, aplicamos $f$ novamente. Substituímos $x$ por $f(x)$ na expressão de $f$ :

f(f(x)) = \frac{3\cdot f(x) - 2}{2 - f(x)} = \frac{3\cdot \frac{3x-2}{2-x} - 2}{2 - \frac{3x-2}{2-x}}

Simplificando o numerador:

3\cdot \frac{3x-2}{2-x} - 2 = \frac{3(3x-2) - 2(2-x)}{2-x} = \frac{9x - 6 - 4 + 2x}{2-x} = \frac{11x - 10}{2-x}

E o denominador:

2 - \frac{3x-2}{2-x} = \frac{2(2-x) - (3x-2)}{2-x} = \frac{4 - 2x - 3x + 2}{2-x} = \frac{6 - 5x}{2-x}

Portanto:

f(f(x)) = \frac{\frac{11x - 10}{2-x}}{\frac{6 - 5x}{2-x}} = \frac{11x - 10}{6 - 5x}

Agora, igualamos a $x$ :

\frac{11x - 10}{6 - 5x} = x

Multiplicando ambos os lados por $6 - 5x$ (com $x \neq \frac{6}{5}$ ):

11x - 10 = x(6 - 5x) = 6x - 5x^2

Reorganizando:

5x^2 + 5x - 10 = 0

Dividindo por 5:

x^2 + x - 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

As raízes são $x = 1$ e $x = -2$ .

Verificação dos quadrantes

Para $x = 1$ : $y = f(f(1)) = 1$ . O ponto é $(1, 1)$ , que está no primeiro quadrante (x > 0 e y > 0).
Para $x = -2$ : $y = f(f(-2)) = -2$ . O ponto é $(-2, -2)$ , que está no terceiro quadrante (x < 0 e y < 0).

Assim, as abscissas de P e Q são, respectivamente, 1 e −2.

Pegadinha

A banca explora a confusão entre $f(f(x))$ e $f(x)$ . Se o candidato igualar $f(x) = x$ diretamente, obtém:

\frac{x+2}{2-x} - 2 = x \Rightarrow \frac{3x-2}{2-x} = x \Rightarrow 3x - 2 = 2x - x^2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0

Que também dá $x = 1$ e $x = -2$ ! Neste caso, a resposta seria a mesma, mas isso é uma coincidência. Em outras funções, $f(f(x)) = x$ e $f(x) = x$ podem ter soluções diferentes. A pegadinha está em não verificar se a função composta foi calculada corretamente.

Interseção de f(f(x)) com identidade — só Soluções de f(f(x))=x: 1 e -2; só Pontos no 1º quadrante: 1; Soluções de f(f(x))=x∩Pontos no 1º quadrante: 1

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma abscissas 4 e −2. O valor 4 não é raiz da equação $x^2 + x - 2 = 0$ . Verificação: $4^2 + 4 - 2 = 18 \neq 0$ . O candidato pode ter errado ao simplificar a função composta, obtendo uma equação diferente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma abscissas 2 e −2. O valor 2 não é raiz: $2^2 + 2 - 2 = 4 \neq 0$ . Possível erro: ao invés de $x^2 + x - 2 = 0$ , o candidato pode ter chegado a $x^2 - x - 2 = 0$ , cujas raízes são 2 e −1, mas isso não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

As abscissas são 1 e −2, exatamente as raízes da equação $x^2 + x - 2 = 0$ obtida de $f(f(x)) = x$ . Os pontos são $(1,1)$ e $(-2,-2)$ , nos quadrantes indicados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma abscissas 2 e −4. Nenhum dos dois valores é raiz da equação correta. O candidato pode ter confundido os sinais ou errado na resolução da equação do segundo grau.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma abscissas 4 e −1. O valor 4 não é raiz, e −1 também não: $(-1)^2 + (-1) - 2 = -2 \neq 0$ . Erro provável: trocar os sinais das raízes ou errar na fatoração.

Gabarito: letra C