Questão de Matemática — Equações Logarítmicas — VUNESP 2025

Equações Logarítmicas: mudança de base e manipulação algébrica

Gabarito: letra B. O valor de $\log_{12}120$ é $\frac{2+2ab-4a}{b}$, obtido expressando 120 e 12 em termos das bases 4 e 6, e usando as definições de $a = \log_4 20$ e $b = \log_6 144$ para substituir e simplificar. A chave é reescrever $\log_{12}120$ usando a propriedade do logaritmo do quociente e, em seguida, expressar os logaritmos resultantes em função de $a$ e $b$.

O problema envolve a manipulação de logaritmos com bases diferentes. A definição fundamental é que $\log_b x = y$ equivale a $b^y = x$. Além disso, usamos a propriedade do logaritmo de um quociente: $\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$. A estratégia é transformar a expressão pedida, $\log_{12}120$, em uma combinação de $a$ e $b$.

Primeiro, notamos que $120 = 6 \times 20$ e $12 = \frac{6^2}{3}$, mas essa não é a via mais direta. Uma abordagem mais eficiente é escrever $\log_{12}120$ como $\log_{12}(6 \times 20) = \log_{12}6 + \log_{12}20$. No entanto, isso ainda não introduz as bases 4 e 6 diretamente.

A sacada é usar a mudança de base para expressar $\log_{12}120$ em termos de logaritmos na base 6 ou na base 4. Vamos usar a base 6, pois $b = \log_6 144$ já está definido. Temos:

$\log_{12}120 = \frac{\log_6 120}{\log_6 12}$.

Agora, $\log_6 120 = \log_6 (6 \times 20) = \log_6 6 + \log_6 20 = 1 + \log_6 20$. E $\log_6 12 = \log_6 \left(\frac{144}{12}\right) = \log_6 144 - \log_6 12$. Isso não parece simplificar. Em vez disso, $\log_6 12 = \log_6 (6 \times 2) = 1 + \log_6 2$.

Precisamos expressar $\log_6 20$ e $\log_6 2$ em termos de $a$ e $b$. Sabemos que $a = \log_4 20$, então $20 = 4^a = 2^{2a}$. Assim, $\log_6 20 = \log_6 2^{2a} = 2a \log_6 2$. Portanto, $\log_6 120 = 1 + 2a \log_6 2$.

Também temos $b = \log_6 144 = \log_6 (12 \times 12) = 2 \log_6 12$, logo $\log_6 12 = \frac{b}{2}$. Mas $\log_6 12 = 1 + \log_6 2$, então $\log_6 2 = \frac{b}{2} - 1$.

Substituindo, obtemos $\log_6 120 = 1 + 2a \left(\frac{b}{2} - 1\right) = 1 + ab - 2a$. E $\log_6 12 = \frac{b}{2}$. Portanto:

$\log_{12}120 = \frac{1 + ab - 2a}{b/2} = \frac{2 + 2ab - 4a}{b}$.

Essa é exatamente a alternativa B. A resolução depende de reconhecer que $a$ e $b$ são logaritmos que podem ser usados para expressar outros logaritmos através de propriedades como a mudança de base e o logaritmo de uma potência.

A pegadinha da banca está em exigir que o candidato manipule as bases de forma criativa, sem um caminho único. Muitos tentam usar a base 10 ou a base $e$, o que não aproveita as informações dadas. A chave é perceber que $a$ e $b$ já fornecem relações entre as bases 4, 6 e os números 20 e 144, e que 120 e 12 podem ser expressos em termos desses.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa sugere $\frac{4+2a-b^2}{a}$. O erro está em não utilizar corretamente a relação entre as bases. O termo $b^2$ não aparece naturalmente na manipulação, e o numerador não corresponde à expressão correta obtida. A presença de $b^2$ indica uma tentativa de elevar $b$ ao quadrado, o que não é justificado pelas propriedades dos logaritmos aplicadas aqui.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\log_{12}120 = \frac{2+2ab-4a}{b}$. A manipulação correta envolve escrever $\log_{12}120$ como $\frac{\log_6 120}{\log_6 12}$, expressar $\log_6 120$ em função de $a$ e $b$, e simplificar. O resultado final é exatamente esta expressão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{2b-ab+a}{a}$ não corresponde ao resultado. O numerador $2b - ab + a$ não surge da manipulação correta. Provavelmente, o candidato que escolheu esta opção tentou usar a base 4 em vez da base 6, mas errou na combinação dos termos, resultando em uma expressão que não é equivalente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{ab+b^2-2}{b}$ também está incorreta. O termo $b^2$ novamente aparece sem justificativa. A manipulação correta não gera um termo quadrático em $b$ no numerador. O candidato pode ter confundido a relação entre $\log_6 144$ e $\log_6 12$, elevando $b$ ao quadrado indevidamente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{2b-a^2-2}{a}$ não é a resposta. O termo $a^2$ não aparece na solução correta. O candidato pode ter tentado expressar tudo em função de $a$, mas errou ao relacionar $\log_4 20$ com os outros logaritmos, gerando um termo quadrático em $a$ que não existe.

Gabarito: letra B