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Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2025

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu218976
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )

Em Mentalidades matemáticas: estimulando o potencial dos estudantes por meio da matemática criativa, das mensagens inspiradoras e do ensino inovador (2017), Boaler propõe o uso de tabelas de autoavaliação para que os alunos aprendam a se reconhecer no processo de conhecimento. Observe a tabela de autoavaliação a seguir, adaptada desse livro.

 

\Box, 1. Resolvi corretamente a equação utilizando o método de completar quadrados.

 

\Box, 2. Resolvi corretamente a equação utilizando a fórmula quadrática.

 

\Box, 3. Registrei a prova real da solução da equação.

 

Um professor pediu que seus alunos resolvessem a equação quadrática x2 – x – 12 = 0 de todas as formas possíveis e que fizessem a prova real dos resultados. Depois que o professor corrigiu o problema na lousa, ele pediu que cada estudante analisasse suas respostas e, em seguida, assinalasse a tabela dos três itens de autoavaliação.

 

Um de seus alunos apresentou a seguinte resolução do problema:

 

x2 - x - 12 = 0

 

4x2 -4x = 48

 

4x2 - 4x + 1 = 48 + 1

 

(2x-1)2 = 49

 

2 x - 1 = ± 7 → x = 4 ou x = -3

 

x −1±1−4⋅1⋅(−12)2=−1±72→x=3 ou x=4\dfrac{-1±\sqrt{1-4⋅1⋅(-12)}}{2}=\dfrac{-1±7}{2} →x=3\,ou\,x=4=

 

Após a correção do exercício na lousa, o preenchimento correto da tabela de autoavaliação do aluno deveria assinalar, apenas,

  1. A1.
  2. B2.
  3. C1 e 2.
  4. D1 e 3.
  5. E2 e 3.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 1.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a Apenas o item 1 está correto, portanto a alternativa A..

A ideia por trás

Uma equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Resolver essa equação é encontrar os valores de x que a tornam verdadeira. Existem vários métodos: completar quadrados, que transforma a equação em um quadrado perfeito para extrair a raiz; e a fórmula quadrática (Bhaskara), que aplica diretamente a fórmula x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). A prova real é substituir as raízes encontradas na equação original para verificar se zeram.

Na fórmula quadrática, os coeficientes a, b e c são retirados da equação: a é o coeficiente de x², b o de x, e c o termo independente. O discriminante Δ = b² - 4ac indica quantas raízes reais existem. Ao completar quadrados, somamos um termo adequado aos dois lados para formar (mx + n)², e então extraímos a raiz quadrada, lembrando que a raiz de um quadrado tem dois sinais: ±. A prova real é simplesmente substituir cada raiz na equação original e verificar se o resultado é zero.

Esta questão pede para analisar a resolução do aluno e decidir quais itens da autoavaliação ele pode marcar com honestidade. Para isso, precisamos conferir se cada método foi aplicado corretamente e se a prova real foi feita.

O que a questão dá

  • equação: x² - x - 12 = 0

  • resolução do aluno por completar quadrados

  • resolução do aluno pela fórmula quadrática

  • prova real não registrada

O que queremos: quais itens da autoavaliação o aluno pode assinalar corretamente

Passo 1 — Conferir o método de completar quadrados

O primeiro item da autoavaliação é sobre completar quadrados. Precisamos verificar se o aluno aplicou o método corretamente, passo a passo, para saber se ele pode marcar esse item.

Por que esta fórmula: Completar quadrados consiste em manipular a equação até obter um trinômio quadrado perfeito do tipo (mx + n)². Aqui, o aluno multiplicou a equação por 4 para facilitar, depois somou 1 aos dois lados para formar (2x - 1)².

(2x−1)2=49(2x - 1)^{2} = 49

De onde vem cada valor: (2x−1)2(2x - 1)^{2} = enunciado: resolução do aluno, linha 4 · 4949 = enunciado: resolução do aluno, linha 3 (48 + 1)

(2x−1)2=49(2x - 1)^{2} = 49

raízes x = 4 e x = -3

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal ± ao extrair a raiz quadrada, perdendo uma das raízes.

Passo 2 — Conferir o método da fórmula quadrática

O segundo item é sobre a fórmula quadrática. Precisamos verificar se o aluno aplicou a fórmula corretamente, prestando atenção nos sinais dos coeficientes.

Por que esta fórmula: A fórmula quadrática é x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Na equação x² - x - 12 = 0, temos a = 1, b = -1 e c = -12. O aluno usou -1 no numerador em vez de +1, o que é um erro de sinal.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = enunciado: coeficiente de x² = 1 · bb = enunciado: coeficiente de x = -1 · cc = enunciado: termo independente = -12

x=−(−1)±(−1)2−4⋅1⋅(−12)2⋅1=1±72x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2}

raízes corretas: x = 4 e x = -3

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de b: usar -1 em vez de +1, levando a raízes erradas.

Passo 3 — Verificar se a prova real foi registrada

O terceiro item é sobre a prova real. Precisamos ver se o aluno substituiu as raízes na equação original para confirmar que zeram. Sem isso, ele não pode marcar esse item.

Por que esta fórmula: A prova real é uma verificação: substituir cada raiz na equação original e ver se o resultado é zero. Não é uma fórmula, mas uma conferência.

não há registro de prova real

NÃO CAIA NESSA!

Achar que apresentar as raízes já é prova real — é preciso mostrar a substituição.

Resposta: Apenas o item 1 está correto, portanto a alternativa A.

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