Questão de Matemática — Área e Perímetro do Triângulo — VUNESP 2025

Área do triângulo na malha de triângulos equiláteros

Gabarito: letra D — a área do triângulo PQR é $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm². A malha é formada por triângulos equiláteros de lado 1 cm, então cada um tem área $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ cm²; contando quantos desses triângulos compõem o triângulo PQR (6 deles), a área total é $6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm².

O ponto central desta questão é entender a malha como uma unidade de área natural: cada triângulo equilátero de lado 1 cm tem área fixa, e o triângulo PQR é formado por um número inteiro dessas unidades. A malha também contém losangos de lado 1 cm, mas cada losango é exatamente a união de dois triângulos equiláteros — ou seja, ele não introduz uma nova unidade de área, apenas agrupa duas das unidades já existentes. Isso é o que permite contar a área do triângulo PQR simplesmente somando as áreas dos triângulos equiláteros que o preenchem.

A área de um triângulo equilátero de lado $L$ é dada por $A = \dfrac{L^2\sqrt{3}}{4}$. Com $L = 1$ cm, cada unidade da malha tem área $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ cm². O triângulo PQR, desenhado sobre a malha, é formado por 6 desses triângulos equiláteros (é possível visualizar a decomposição: o triângulo maior é composto por 6 triângulos menores idênticos, todos de lado 1 cm). Portanto:

A pegadinha da banca está em contar errado o número de triângulos equiláteros que formam o triângulo PQR. O candidato apressado pode contar apenas os triângulos "inteiros" visíveis e esquecer que os losangos também são compostos por dois triângulos equiláteros, ou pode contar os triângulos de cabeça para baixo e de cabeça para cima de forma incorreta. A chave é sempre decompor a figura em unidades conhecidas — aqui, o triângulo equilátero de lado 1 — e somar as áreas.

Outra forma de pensar: se você preferir, pode calcular a área do triângulo PQR pela fórmula clássica $A = \dfrac{b \times h}{2}$, mas isso exigiria identificar a base e a altura na malha, o que é mais trabalhoso. A decomposição em unidades da malha é o método mais direto e menos sujeito a erro. Guarde essa estratégia: em questões de malha, a unidade de área é a menor figura que se repete — aqui, o triângulo equilátero de lado 1.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $2\sqrt{3}$ corresponderia a 8 triângulos equiláteros da malha ($8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$). Isso acontece se o candidato contar os triângulos de forma errada, incluindo áreas que não fazem parte do triângulo PQR ou contando os losangos como se fossem uma unidade única sem dividir por 2. O triângulo PQR tem apenas 6 unidades, não 8.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $3\sqrt{3}$ corresponderia a 12 triângulos equiláteros ($12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$). Esse número é o dobro do correto, o que sugere que o candidato contou o dobro de unidades — provavelmente contando cada losango como se fosse um triângulo equilátero inteiro, sem perceber que cada losango vale 2 triângulos, ou contando triângulos que estão fora do triângulo PQR.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{3}$ corresponderia a apenas 4 triângulos equiláteros ($4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$). Esse valor é a área de um losango da malha (que vale 2 triângulos) multiplicada por 2, ou seja, o candidato subestimou a área do triângulo PQR, contando apenas uma parte das unidades que o compõem. O triângulo PQR é maior do que isso.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ corresponde exatamente a 6 triângulos equiláteros de lado 1 cm: $6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. A decomposição do triângulo PQR na malha revela que ele é formado por 6 dessas unidades, e a soma das áreas das unidades é a área total. Este é o valor correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ corresponderia a 10 triângulos equiláteros ($10 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{10\sqrt{3}}{4} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}$). Esse número é maior que o correto, indicando que o candidato contou unidades a mais — provavelmente incluindo triângulos que estão fora do triângulo PQR ou contando os losangos de forma incorreta (cada losango vale 2 triângulos, não 1).

A regra de ouro para questões de malha: identifique a menor figura que se repete e use-a como unidade de área. Aqui, o triângulo equilátero de lado 1 cm é a unidade; o losango é apenas um agrupamento de 2 unidades. Contando corretamente as 6 unidades que formam o triângulo PQR, a área é $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm².

Gabarito: letra D