Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2025

Trigonometria no triângulo retângulo: tangente e a relação com o ponto médio

Gabarito: letra C. A substituição do cabo que prende o poste no ponto médio D pelo cabo que o prende no topo B dobra a altura do triângulo retângulo formado com o chão, mantendo a mesma base — e, como a tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, dobrar o cateto oposto dobra a tangente: $\tan \beta = 2\tan \alpha$.

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é definida como a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a ele. No problema, o poste é perpendicular ao chão, então o triângulo formado pelo cabo, pelo poste e pelo chão é retângulo, com o ângulo agudo no ponto de fixação do cabo no chão. O cateto oposto a esse ângulo é a altura do poste (ou parte dela), e o cateto adjacente é a distância do pé do poste até o ponto de fixação do cabo no chão.

Quando o cabo é fixado no ponto médio D do poste, a altura considerada é metade da altura total do poste. Quando o cabo é fixado no topo B, a altura considerada é a altura total. Como a distância no chão (cateto adjacente) permanece a mesma, a razão entre o cateto oposto e o adjacente — ou seja, a tangente — dobra. Essa é a essência da questão: a tangente é diretamente proporcional ao cateto oposto quando o adjacente é fixo.

Vamos formalizar com um exemplo numérico. Suponha que o poste tenha altura $h = 10$ unidades e que a distância do pé do poste ao ponto de fixação do cabo no chão seja $d = 5$ unidades. Com o cabo fixado no ponto médio D, a altura é $h/2 = 5$, e a tangente do ângulo $\alpha$ é $\tan \alpha = 5/5 = 1$. Com o cabo fixado no topo B, a altura é $h = 10$, e a tangente do ângulo $\beta$ é $\tan \beta = 10/5 = 2$. Observe que $\tan \beta = 2 = 2 \times 1 = 2\tan \alpha$. A relação é exatamente a da alternativa C.

A pegadinha da banca está em confundir a relação entre os ângulos com a relação entre as tangentes. Como a tangente não é uma função linear, dobrar o cateto oposto não dobra o ângulo — o ângulo $\beta$ não é o dobro de $\alpha$. A relação correta é sempre entre as tangentes, nunca entre os ângulos diretamente. Guarde essa distinção: é nela que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $\tan \beta - \tan \alpha = 0{,}5$. Isso implicaria que a diferença entre as tangentes é constante e igual a 0,5, o que não é verdade. A diferença entre as tangentes depende da altura do poste e da distância no chão. No exemplo acima, $\tan \beta - \tan \alpha = 2 - 1 = 1$, não 0,5. A relação correta é multiplicativa, não subtrativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $\beta = 2\alpha$. Isso confunde a relação entre as tangentes com uma relação entre os ângulos. Como a tangente não é uma função linear, dobrar o cateto oposto não dobra o ângulo. Por exemplo, se $\alpha = 45°$, então $\tan \alpha = 1$ e $\tan \beta = 2$, o que dá $\beta \approx 63{,}4°$, que não é $90°$ (o dobro de 45°). A relação é entre tangentes, não entre ângulos.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $\tan \beta = 2\tan \alpha$. Como o cabo é fixado no topo B em vez do ponto médio D, a altura do triângulo dobra, enquanto a base permanece a mesma. Como a tangente é a razão entre o cateto oposto e o adjacente, dobrar o cateto oposto dobra a tangente. Essa é a relação correta e direta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $\beta = 2\tan \alpha$. Isso mistura unidades: $\beta$ é um ângulo (medido em graus ou radianos), enquanto $\tan \alpha$ é um número adimensional. Não se pode igualar um ângulo a um número. Além disso, mesmo que se interpretasse como uma relação entre tangentes, a forma correta seria $\tan \beta = 2\tan \alpha$, não $\beta = 2\tan \alpha$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $\beta = \tan^2 \alpha$. Novamente, isso iguala um ângulo a um número, o que é dimensionalmente incorreto. Além disso, a relação correta é $\tan \beta = 2\tan \alpha$, não $\beta = \tan^2 \alpha$. A alternativa confunde a operação de dobrar com a de elevar ao quadrado.

Gabarito: letra C