Questão de Matemática — Radiciação e Potenciação — VUNESP 2025

Potenciação e Radiciação: maximizando e minimizando $a^b$

Gabarito: letra B. O maior valor de $n$ é $6^{5/2} = 36\sqrt{6}$ e o menor é $6^{-3} = \dfrac{1}{216}$; a média aritmética entre eles é $\dfrac{36\sqrt{6} + \frac{1}{216}}{2} = 18\sqrt{6} + \dfrac{1}{432}$, que corresponde exatamente à alternativa B. A chave da questão está em analisar o comportamento da função exponencial $a^b$ quando a base $a$ (do dado D2) é sempre positiva e maior que 1, e o expoente $b$ (do dado D1) pode ser negativo, fracionário ou nulo.

A ideia por trás

A questão combina dois conceitos: potenciação (elevar um número a outro) e média aritmética (somar os valores e dividir pela quantidade). O dado D2 fornece a base da potência, sempre um número inteiro positivo de 1 a 6. O dado D1 fornece o expoente, que pode ser um número negativo, uma fração, zero ou um número positivo. O resultado $n$ é sempre um número real, pois a base é positiva e qualquer expoente real aplicado a uma base positiva resulta em um número real.

Para encontrar o maior e o menor valor possível de $n$, precisamos entender como a função $f(b) = a^b$ se comporta para uma base fixa $a > 1$. Quando o expoente $b$ é positivo, $a^b > 1$ e cresce conforme $b$ aumenta. Quando $b = 0$, $a^0 = 1$. Quando $b$ é negativo, $a^b = \dfrac{1}{a^{|b|}}$, que é um número entre 0 e 1, e diminui conforme $|b|$ aumenta. Portanto, para maximizar $n$, precisamos da maior base possível (6) e do maior expoente positivo possível ($\dfrac{5}{2}$). Para minimizar $n$, precisamos da maior base possível (6) e do expoente negativo com maior valor absoluto ($-3$), pois isso resulta no menor valor positivo.

Vamos calcular cada caso:

Maior valor de $n$:

• Base: 6 (maior face do D2)

• Expoente: $\dfrac{5}{2}$ (maior face positiva do D1)

• $n_{max} = 6^{5/2} = \sqrt{6^5} = \sqrt{6^4 \cdot 6} = 6^2 \cdot \sqrt{6} = 36\sqrt{6}$

Menor valor de $n$:

• Base: 6 (maior face do D2)

• Expoente: $-3$ (face negativa com maior valor absoluto do D1)

• $n_{min} = 6^{-3} = \dfrac{1}{6^3} = \dfrac{1}{216}$

Agora, calculamos a média aritmética simples entre esses dois valores:

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta $18\sqrt{6} - 108$. O erro está no sinal e no valor do segundo termo. Ela parece considerar que o menor valor de $n$ seria negativo ou que a média envolveria uma subtração, o que não faz sentido, pois $n$ é sempre positivo (base positiva elevada a qualquer expoente real resulta em número positivo). O termo $-108$ não corresponde a nenhum valor obtido no cálculo correto.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o maior valor é $36\sqrt{6}$ e o menor é $\dfrac{1}{216}$. A média é $\dfrac{36\sqrt{6} + \frac{1}{216}}{2} = 18\sqrt{6} + \dfrac{1}{432}$. A alternativa B reproduz exatamente esse resultado, com o termo $18\sqrt{6}$ (metade de $36\sqrt{6}$) e o termo $\dfrac{1}{432}$ (metade de $\dfrac{1}{216}$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $9\sqrt{6} - 9$. O erro está em usar $9\sqrt{6}$ em vez de $18\sqrt{6}$, o que sugere que o candidato pode ter calculado a média de forma incorreta, talvez dividindo $36\sqrt{6}$ por 4 em vez de 2, ou errando a identificação do maior valor. O termo $-9$ também não tem fundamento no problema.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $9\sqrt{6} + 9$. O erro está em usar $9\sqrt{6}$ em vez de $18\sqrt{6}$ e $+9$ em vez de $+\dfrac{1}{432}$. O candidato pode ter confundido o cálculo da média ou utilizado valores incorretos para o maior e o menor $n$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $18\sqrt{6}$, omitindo o termo $\dfrac{1}{432}$. Isso ocorre quando o candidato considera apenas o maior valor ($36\sqrt{6}$) e calcula sua metade, esquecendo de incluir o menor valor ($\dfrac{1}{216}$) na média. A alternativa E é um distrator clássico para quem calcula a média apenas do maior valor.

Gabarito: letra B