GabaritoC — 6
Gabarito: letra C — a conta chega a 6 metros — alternativa C.
Uma função do 2º grau tem a forma f(x) = ax² + bx + c e seu gráfico é uma parábola. Quando o coeficiente a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo, como a trajetória de uma bola lançada para cima que sobe e desce. Os pontos onde a parábola cruza o eixo x são as raízes da equação, e o vértice é o ponto mais alto (ou mais baixo) da curva.
A forma canônica da função quadrática é f(x) = a(x - h)² + k, onde (h, k) é o vértice. Essa forma é útil porque já conhecemos o vértice. Para encontrar as raízes, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equação. A distância de um ponto até o eixo y é o valor absoluto da sua coordenada x.
Esta questão fornece o vértice e um ponto da parábola (o lançamento). Com isso, determinamos o coeficiente a e depois encontramos as raízes; a raiz que não é o lançamento é a posição do cesto.
ponto de lançamento: (0, 0)
vértice da parábola: (3, 4)
cesto está sobre o eixo x (y = 0)
O que queremos: a distância do cesto até o eixo y
Como conhecemos o vértice (3, 4), a forma canônica f(x) = a(x - h)² + k já traz essas informações diretamente, sem precisar resolver um sistema para a, b e c.
Por que esta fórmula: A forma canônica é a mais adequada quando se conhece o vértice; ela explicita o ponto de máximo ou mínimo da parábola.
De onde vem cada valor: = enunciado: vértice (3, 4) · = enunciado: vértice (3, 4)
Usar a forma geral f(x) = ax² + bx + c e tentar montar um sistema com apenas dois pontos, o que é mais trabalhoso.
Ainda falta o valor de a para completar a equação. Usamos o ponto de lançamento (0, 0), que pertence à parábola, substituindo x = 0 e f(x) = 0 na forma canônica.
Por que esta fórmula: Qualquer ponto da parábola satisfaz a equação; o ponto (0,0) é o mais simples de substituir.
De onde vem cada valor: = enunciado: ponto de lançamento (0, 0) · = enunciado: vértice (3, 4) · = enunciado: vértice (3, 4) · = constante: (0 - 3)² = 9
Esquecer de isolar a corretamente: 0 = 9a + 4 ⇒ 9a = -4 ⇒ a = -4/9. Errar o sinal leva a uma parábola com concavidade para cima.
As raízes são os pontos onde a bola toca o chão (y = 0). Uma delas é o lançamento (x = 0) e a outra é a posição do cesto. Igualamos a função a zero.
Por que esta fórmula: A equação f(x) = 0 é a condição para a parábola cruzar o eixo x.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = enunciado: vértice (3, 4) · = enunciado: vértice (3, 4)
Tentar resolver por Bhaskara sem simplificar; aqui a forma canônica permite isolar o quadrado diretamente.
Para resolver a equação, isolamos o termo (x - 3)², que é o passo natural antes de extrair a raiz quadrada.
Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: subtrair 4, multiplicar por -9/4 e depois extrair a raiz.
De onde vem cada valor: = passo 3: -4/9 (x-3)² + 4 = 0 ⇒ (x-3)² = 9
Esquecer de considerar as duas raízes ao extrair a raiz quadrada: x - 3 = ±3.
Com o quadrado isolado, extraímos a raiz e resolvemos as duas possibilidades: x - 3 = 3 e x - 3 = -3.
Por que esta fórmula: A raiz quadrada de um número positivo tem dois valores: positivo e negativo.
De onde vem cada valor: = passo 4: (x-3)² = 9 ⇒ x-3 = ±3
x = 0 ou x = 6
Considerar apenas a raiz positiva e esquecer que x = 0 é o ponto de lançamento.
Das duas raízes, uma é o ponto de lançamento (x = 0) e a outra é onde a bola cai, ou seja, o cesto. A distância até o eixo y é o valor absoluto da coordenada x.
Por que esta fórmula: A distância de um ponto ao eixo y é o módulo da sua abscissa.
De onde vem cada valor: = passo 5: x = 6
Confundir a coordenada x com a distância: se o cesto estivesse em x = -6, a distância seria 6, não -6.
Resposta: 6 metros — alternativa C
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