Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu218986

MatemáticaOutras Questões de Matemática

Código: vu218986
Banca: VUNESP
Órgão: SEDUC SP
Ano: 2025

Cargo: Prof EFM ( )

No livro A arte de resolver problemas (2006), Polya aborda demonstrações utilizando o seguinte problema:

Escrever um conjunto de números naturais usando cada um dos dez algarismos uma só vez, de tal forma que a soma desses números seja exatamente 100. (Adaptado)

Na abordagem, Polya apresenta dois conjuntos de números que, por razões diferentes, não satisfazem as condições do problema. São eles:

1) 19 + 28 + 30 + 7 + 6 + 5 + 4 = 99 (todos os algarismos são usados uma única vez, mas a soma dos números não é 100);

2) 19 + 28 + 31 + 7 + 6 + 5 + 4 = 100 (a soma dos números é 100, mas o algarismo 1 é usado mais de uma vez).

Na sequência da abordagem, Polya leva o leitor a suspeitar de que o problema proposto não tem solução e propõe uma demonstração para provar essa suspeita. Para a demonstração, ele afirma que a soma dos dez algarismos que devem ser usados apenas uma vez para a formação do conjunto de números que serão adicionados é 45 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45). Ele afirma, ainda, que alguns desses algarismos devem denotar unidades e outros, dezenas dos números do conjunto a ser formado. Em seguida, ele declara: (...) seja t a soma dos algarismos da dezena de cada um dos números cuja soma deve resultar 100. Então, a soma de todos os números do conjunto deve ser 10t + (45 – t) = 100, ou seja, t é igual a $\dfrac{55}{9}$ (Adaptado)

Em decorrência da declaração, na análise anterior, Polya conclui, portanto, que o problema proposto não tem solução.

O método utilizado por Polya para chegar à conclusão foi o de demonstração

Apor absurdo, já que $\dfrac{55}{9}$ ∉ |N.
Banalítica, já que $\dfrac{55}{9}$ = 6, $\bar{1}$ .
Cgeométrica, já que 10t + (45 – t) = 100 é a equação de uma reta.
Ddireta, já que $\dfrac{55}{9}$ ∈ \mathbb{Q}.
Epor indução, já que $\dfrac{55}{9}$ é uma dízima periódica.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — por absurdo, já que \dfrac{55}{9} ∉ |N.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Demonstração por absurdo

Gabarito: letra A. Polya supõe que exista um conjunto de números naturais satisfazendo as condições do problema e, a partir dessa suposição, deduz que a soma dos algarismos das dezenas, $t$ , deveria ser igual a $\frac{55}{9}$ , um número que não é natural. Como essa conclusão é impossível, a suposição inicial é falsa — exatamente a estrutura da demonstração por absurdo (ou redução ao absurdo).

A demonstração por absurdo é um dos métodos mais poderosos da matemática. A ideia central é: para provar que uma proposição é verdadeira, você assume que ela é falsa e, a partir dessa suposição, deduz uma contradição lógica ou uma impossibilidade matemática. Se a suposição leva a um absurdo, então ela não pode ser verdadeira, e a proposição original fica provada.

No problema de Polya, a proposição a ser provada é: "não existe um conjunto de números naturais que use cada um dos dez algarismos exatamente uma vez e cuja soma seja 100". Para provar isso por absurdo, Polya assume o contrário: que tal conjunto existe. A partir dessa suposição, ele constrói um raciocínio lógico:

A soma de todos os algarismos usados (0 a 9) é 45.
Cada número do conjunto é formado por algarismos que ocupam a casa das unidades ou das dezenas.
Seja $t$ a soma dos algarismos que ocupam a casa das dezenas. Então, a soma de todos os números é $10t + (45 - t)$ , pois os algarismos das dezenas valem 10 vezes seu valor nominal, e os das unidades valem seu valor nominal.
Para que a soma seja 100, temos a equação $10t + (45 - t) = 100$ , que resolvida dá $9t = 55$ , ou seja, $t = \frac{55}{9}$ .

Aqui está o absurdo: $t$ é a soma de algarismos das dezenas, que são números naturais (0 a 9). Portanto, $t$ deve ser um número natural. Mas $\frac{55}{9} \approx 6,11$ não é um número natural. Logo, a suposição inicial (de que o conjunto existe) é falsa, e o problema não tem solução.

A pegadinha desta questão está em reconhecer que o método não é apenas "analítico" ou "algébrico" — embora use álgebra, a estrutura lógica é a da demonstração por absurdo. A álgebra é apenas a ferramenta usada para chegar à contradição. O que caracteriza o método é a suposição do contrário e a dedução de uma impossibilidade.

Guarde o critério decisivo: demonstração por absurdo = supor o contrário + chegar a uma contradição. É exatamente esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Hipótese	Suposição inicial	Dedução lógica	Resultado
Caso 1	Existe conjunto com os 10 algarismos (0–9) usados uma única vez e soma 100	Soma dos algarismos = 45; seja (t) a soma dos algarismos das dezenas; soma total = (10t + (45 - t))	$(10t + (45 - t) = 100 \Rightarrow 9t = 55 \Rightarrow t = \frac{55}{9})$
Caso 2	(t) deve ser natural (soma de algarismos das dezenas)	$(\frac{55}{9} \approx 6{,}11 \notin \mathbb{N})$	Contradição — suposição inicial é falsa

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A está correta porque identifica precisamente o método utilizado. Polya supõe que o problema tem solução (ou seja, que existe um conjunto de números satisfazendo as condições) e, a partir dessa suposição, deduz que $t = \frac{55}{9}$ , que não é um número natural. Como $t$ deveria ser a soma de algarismos das dezenas (portanto, um natural), essa conclusão é um absurdo. A suposição inicial é, então, falsa, provando que o problema não tem solução. Essa é a estrutura clássica da demonstração por absurdo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B afirma que o método é analítico porque $\frac{55}{9} = 6,\bar{1}$ . Embora a igualdade seja verdadeira, ela não caracteriza o método. O fato de $\frac{55}{9}$ ser uma dízima periódica é uma consequência do cálculo, não a razão da conclusão. O método analítico, em geral, refere-se a uma demonstração que usa manipulação algébrica direta para chegar ao resultado, sem a suposição do contrário. Aqui, a álgebra é usada, mas dentro de uma estrutura de redução ao absurdo. A alternativa confunde a ferramenta (álgebra) com o método (absurdo).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C afirma que o método é geométrico porque a equação $10t + (45 - t) = 100$ é a equação de uma reta. De fato, a equação pode ser reescrita como $9t + 45 = 100$ , ou $9t = 55$ , que é uma equação do primeiro grau e, graficamente, representa uma reta. No entanto, o fato de a equação representar uma reta não tem relação com o método de demonstração utilizado. A demonstração não se apoia em propriedades geométricas, mas na contradição lógica entre a suposição e o resultado obtido. A alternativa confunde a representação algébrica com o método lógico.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D afirma que o método é direto porque $\frac{55}{9} \in \mathbb{Q}$ . É verdade que $\frac{55}{9}$ é um número racional, mas isso não caracteriza uma demonstração direta. Uma demonstração direta prova uma proposição construindo uma cadeia lógica de implicações a partir das hipóteses, sem supor o contrário. Aqui, Polya supõe o contrário (que a solução existe) e chega a uma contradição. Portanto, o método não é direto, mas por absurdo. A alternativa confunde a natureza do número obtido com a estrutura da demonstração.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E afirma que o método é por indução porque $\frac{55}{9}$ é uma dízima periódica. A indução matemática é um método de prova que estabelece a validade de uma proposição para todos os números naturais, mostrando que ela vale para o primeiro caso e que, se vale para um caso, vale para o próximo. Nada disso é usado na demonstração de Polya. O fato de $\frac{55}{9}$ ser uma dízima periódica é irrelevante para o método. A alternativa confunde o formato decimal do número com o método de demonstração.

Gabarito: letra A

Link permanente: /questoes/vu218986