Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2025

Estimativa de pessoas em manifestação (método Jacobs)

Gabarito: letra E — a estimativa pelo método Jacobs resulta em um número entre 6.800 e 7.000 pessoas. O cálculo combina a área de cada triângulo retângulo (obtida pelo Teorema de Pitágoras) com a densidade indicada pela letra em cada região, somando os produtos área × densidade.

A ideia por trás do método

O método Jacobs estima o número de pessoas em uma manifestação multiplicando a área ocupada pela densidade média de pessoas por metro quadrado. A tabela do enunciado define três classificações: Pouco densa (PD) = 1 pessoa/m², Densa (D) = 3 pessoas/m² e Muito densa (MD) = 5 pessoas/m². A praça tem formato de trapézio e foi dividida em quatro triângulos retângulos, cada um com uma letra indicando a densidade estimada naquela região. Para resolver, precisamos:

1. Calcular a área de cada triângulo retângulo — a área de um triângulo é $\frac{base \times altura}{2}$. Como são triângulos retângulos, os catetos são a base e a altura.

2. O Teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$) pode ser necessário para encontrar um cateto desconhecido, especialmente se a figura indicar a hipotenusa e um dos catetos.

3. Multiplicar a área de cada triângulo pela densidade correspondente (PD = 1, D = 3, MD = 5).

4. Somar os quatro resultados para obter o total estimado de pessoas.

Exemplo prático (com valores hipotéticos)

Suponha que a figura indique os seguintes triângulos retângulos (medidas em metros):

• Triângulo 1 (PD): catetos 20 e 30 → área = (20 × 30)/2 = 300 m² → pessoas = 300 × 1 = 300

• Triângulo 2 (D): catetos 30 e 40 → área = (30 × 40)/2 = 600 m² → pessoas = 600 × 3 = 1.800

• Triângulo 3 (MD): catetos 20 e 20 → área = (20 × 20)/2 = 200 m² → pessoas = 200 × 5 = 1.000

• Triângulo 4 (D): catetos 40 e 30 → área = (40 × 30)/2 = 600 m² → pessoas = 600 × 3 = 1.800

Total = 300 + 1.800 + 1.000 + 1.800 = 4.900 pessoas. Neste exemplo, o total seria 4.900, mas o gabarito indica que, com os valores reais da figura, o total fica entre 6.800 e 7.000. A diferença está nas medidas específicas dos triângulos da figura original.

A pegadinha da banca

A banca explora a necessidade de calcular corretamente as áreas e aplicar a densidade certa a cada triângulo. Um erro comum é:

• Confundir as densidades: trocar PD (1) por D (3) ou MD (5), alterando o resultado final.

• Errar o cálculo da área: esquecer de dividir por 2 na fórmula do triângulo, ou usar a hipotenusa como se fosse um cateto.

• Não usar o Teorema de Pitágoras quando um cateto não é dado diretamente, mas a hipotenusa e o outro cateto são conhecidos.

Como identificar as medidas na figura

1. Observe cada triângulo retângulo e anote as medidas dos catetos (ou da hipotenusa e de um cateto).

2. Se necessário, use o Teorema de Pitágoras para encontrar o cateto faltante: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

3. Calcule a área de cada triângulo: $A = \frac{cateto_1 \times cateto_2}{2}$.

4. Multiplique pela densidade indicada pela letra no triângulo.

5. Some tudo e compare com os intervalos das alternativas.

Análise das alternativas

Todas as alternativas apresentam intervalos numéricos. A correta é a letra E (6.800 a 7.000), pois o cálculo com os dados da figura original resulta em um valor dentro desse intervalo. As demais alternativas (A, B, C, D) são distratores que correspondem a erros comuns de cálculo, como:

• A (7.200 a 7.400): pode resultar de erro na densidade de um triângulo (ex.: usar MD = 5 em um triângulo que é D = 3).

• B (6.100 a 6.300): pode resultar de erro na área de um triângulo (ex.: esquecer de dividir por 2).

• C (7.500 a 7.700): pode resultar de erro no Teorema de Pitágoras (ex.: usar a hipotenusa como cateto).

• D (8.000 a 8.200): pode resultar de erro na soma ou na aplicação das densidades.

Conclusão

Para resolver questões como esta, é fundamental:

• Dominar o Teorema de Pitágoras para encontrar lados desconhecidos.

• Calcular áreas de triângulos retângulos corretamente.

• Aplicar a densidade correta a cada região.

• Conferir o resultado com os intervalos das alternativas.

Gabarito: letra E