Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — VUNESP 2025

Equações polinomiais: resolvendo x³ = x² + 6x

Gabarito: letra C — nenhum dos três alunos acertou por completo, porque todos ignoraram a raiz x = 0. A equação x³ = x² + 6x é do 3º grau e, portanto, tem até três raízes reais; a resolução correta exige fatorar x(x² − x − 6) = 0, o que leva a S = {−2, 0, 3}. O erro comum é dividir tudo por x (perdendo a raiz zero) ou aplicar a fórmula de Bhaskara sem antes fatorar.

A equação x³ = x² + 6x é uma equação polinomial do 3º grau. Para resolvê-la, o primeiro passo é igualar a zero e fatorar:

x³ − x² − 6x = 0 x(x² − x − 6) = 0

Aqui está o ponto crucial: quando temos um produto igual a zero, cada fator pode ser zero. Então:

• x = 0 (primeira raiz)

• x² − x − 6 = 0 (equação do 2º grau)

Resolvendo a equação do 2º grau por Bhaskara ou por soma e produto:

x² − x − 6 = 0 → x = 3 ou x = −2

Portanto, o conjunto solução completo é S = {−2, 0, 3}.

O erro dos três alunos é o mesmo em essência: eles perderam a raiz x = 0. O Aluno 1 aplicou Bhaskara diretamente na equação do 2º grau que obteve (x² − x − 6 = 0), mas esqueceu que o fator x = 0 também é solução. O Aluno 2 dividiu ambos os lados por x, o que é uma operação proibida quando x pode ser zero — dividir por x elimina a raiz x = 0. O Aluno 3 cometeu um erro ainda mais grave: tentou aplicar Bhaskara na equação original x³ = x² + 6x sem reordená-la corretamente, usando coeficientes errados (a = 1, b = 1, c = 6 em vez de a = 1, b = −1, c = −6) e, por isso, encontrou um discriminante negativo e concluiu que não há solução real.

A lição central é: nunca divida uma equação por uma expressão que contenha a incógnita sem antes verificar se ela pode ser zero. E, ao resolver uma equação polinomial, sempre fatore para encontrar todas as raízes.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que apenas os alunos 1 e 2 acertaram por completo. Ambos chegaram a S = {−2, 3}, mas esqueceram a raiz x = 0. O Aluno 1 aplicou Bhaskara na equação reduzida x² − x − 6 = 0, mas não considerou o fator x que foi colocado em evidência. O Aluno 2 dividiu por x, o que é matematicamente inválido quando x = 0 é uma solução possível. Portanto, nenhum dos dois acertou por completo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que apenas o aluno 3 acertou. O Aluno 3 errou ao aplicar a fórmula de Bhaskara com coeficientes incorretos: na equação x³ = x² + 6x, ao passar tudo para um lado, temos x³ − x² − 6x = 0, e não uma equação do 2º grau com a = 1, b = 1, c = 6. Ele também concluiu que não há solução real, o que é falso — a equação tem três raízes reais.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Nenhum dos três acertou por completo. A solução correta é S = {−2, 0, 3}. O Aluno 1 e o Aluno 2 encontraram apenas duas raízes (−2 e 3), perdendo a raiz x = 0. O Aluno 3 errou completamente, concluindo que não há solução real. Portanto, a afirmação de que nenhum acertou por completo é verdadeira.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que apenas o aluno 2 acertou. O Aluno 2 dividiu a equação por x, o que é um erro grave: ao dividir por x, ele perde a raiz x = 0. A divisão por uma variável só é permitida se soubermos que ela não é zero, o que não é o caso aqui. Portanto, sua resolução está incompleta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que apenas o aluno 1 acertou. O Aluno 1 aplicou Bhaskara corretamente na equação x² − x − 6 = 0, encontrando x = 3 e x = −2, mas esqueceu de considerar o fator x = 0 que foi colocado em evidência na fatoração. Sua resolução está incompleta.

Gabarito: letra C