Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2025

Semelhança de Triângulos e Razão de Semelhança

Gabarito: letra A — a medida de $\overline{PQ}$ é $\dfrac{87}{5}$ cm. A questão se resolve pela semelhança de triângulos: os ângulos destacados congruentes indicam que os triângulos são semelhantes, e a razão entre os lados correspondentes é constante. Com os dados fornecidos, montamos a proporção e encontramos o valor de (PQ).

A ideia por trás

Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados correspondentes proporcionais. Essa é a definição central que a questão explora. Quando o enunciado afirma que "os ângulos destacados são congruentes", ele está nos dando a pista de que os triângulos envolvidos são semelhantes, mesmo que não estejam desenhados na mesma escala ou posição. A razão de semelhança é o número que multiplica os lados de um triângulo para obter os lados do outro. Se dois triângulos são semelhantes, a razão entre quaisquer dois lados correspondentes é a mesma. Por exemplo, se o triângulo menor tem lados (a, b, c) e o maior tem lados (ka, kb, kc), então (k) é a razão de semelhança. Na prática, para resolver problemas de semelhança, identificamos os lados correspondentes e montamos uma proporção. A pegadinha mais comum é errar a correspondência dos lados — ou seja, colocar na proporção lados que não são correspondentes. Por isso, é fundamental observar atentamente a figura e identificar quais ângulos são congruentes, pois eles determinam quais lados se correspondem. Vamos aplicar isso ao problema. Temos os seguintes dados:

• $(ST = \dfrac{32}{5}) cm$

• $(RT = \dfrac{29}{5}) cm$

• $(QS = \dfrac{96}{5}) cm$

Precisamos encontrar (PQ). A partir da congruência dos ângulos destacados, identificamos a correspondência entre os lados. Supondo que os triângulos sejam (\triangle PQS) e (\triangle TRS) (ou similar), a proporção seria: $\frac{PQ}{TR} = \frac{QS}{RS} = \frac{PS}{TS}$ Mas precisamos dos valores de (RS) e (PS), que não foram fornecidos diretamente. No entanto, podemos usar a relação entre os lados conhecidos. Se $QS = \dfrac{96}{5}$ e $ST = \dfrac{32}{5}$, a razão entre esses lados é: $\frac{QS}{ST} = \frac{96/5}{32/5} = 3$ Isso indica que a razão de semelhança entre os triângulos é 3. Ou seja, os lados do triângulo maior são o triplo dos lados correspondentes do triângulo menor. Portanto, se $RT = \dfrac{29}{5}$, então o lado correspondente no triângulo maior, que é (PQ), será: $PQ = 3 \times RT = 3 \times \frac{29}{5} = \frac{87}{5}$ Assim, encontramos $PQ = \dfrac{87}{5}$ cm, que corresponde à alternativa A.

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a razão de semelhança entre os triângulos é 3 (pois (QS/ST = 3)). Multiplicando (RT) por essa razão, obtemos $PQ = 3 \times \dfrac{29}{5} = \dfrac{87}{5}$. Portanto, a medida de $\overline{PQ}$ é $\dfrac{87}{5}$ cm.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{92}{5}$ não corresponde a nenhuma operação correta com os dados fornecidos. Se o candidato somasse (ST + RT) e multiplicasse por algo, ou se confundisse a razão de semelhança, poderia chegar a esse número, mas ele não é o resultado da proporção correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 18 é um número inteiro, mas o resultado correto é uma fração. Provavelmente, o candidato que marcou esta alternativa fez uma aproximação ou errou ao calcular a razão de semelhança, talvez usando (QS/RT) em vez de (QS/ST).

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{89}{5}$ está próximo do correto, mas não é exato. Pode ter surgido de um erro de cálculo, como somar (RT) com (ST) antes de multiplicar pela razão, ou usar uma razão de semelhança incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 17 também é um número inteiro e não corresponde ao resultado exato. Pode ser resultado de uma divisão mal feita ou de uma confusão entre os lados correspondentes.

Conclusão

A chave para resolver esta questão é identificar corretamente os lados correspondentes dos triângulos semelhantes e aplicar a razão de semelhança. Com os dados fornecidos, a razão é 3, e multiplicando (RT) por 3 obtemos $\dfrac{87}{5}$. Portanto, a alternativa correta é a letra A. Gabarito: letra A