Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu218991

Função exponencial aplicada ao decaimento radioativo

Gabarito: letra D — o valor de $k$ é $k = -\dfrac{1}{1600}$ . A meia-vida de 1.600 anos significa que, em $t = 1600$ , a massa é $q(1600) = \dfrac{q_0}{2}$ . Substituindo na lei $q(t) = q_0 \cdot 2^{kt}$ , obtemos $2^{1600k} = 2^{-1}$ , logo $1600k = -1$ e $k = -\dfrac{1}{1600}$ .

A função exponencial é uma ferramenta matemática que descreve processos em que uma grandeza varia a uma taxa proporcional ao seu valor atual. No caso do decaimento radioativo, a massa da amostra diminui ao longo do tempo, e a lei que modela esse fenômeno é do tipo $q(t) = q_0 \cdot 2^{kt}$ , em que $q_0$ é a massa inicial, $t$ é o tempo decorrido e $k$ é uma constante que determina a velocidade do decaimento. Como a massa decresce, o expoente $kt$ deve ser negativo para $t > 0$ , o que implica $k < 0$ — esse é o primeiro indício de que a resposta correta é uma alternativa com sinal negativo.

A meia-vida é o tempo necessário para que a massa se reduza à metade. Se a meia-vida é de 1.600 anos, então, ao substituir $t = 1600$ na função, devemos obter $q(1600) = \dfrac{q_0}{2}$ . Isso nos dá a equação:

q_0 \cdot 2^{1600k} = \dfrac{q_0}{2} \Rightarrow 2^{1600k} = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}

Como as bases são iguais (base 2), os expoentes devem ser iguais:

1600k = -1 \Rightarrow k = -\dfrac{1}{1600}

Portanto, a constante $k$ é negativa, refletindo o decaimento, e seu valor absoluto é o inverso da meia-vida. Esse é o padrão geral: para uma função do tipo $q(t) = q_0 \cdot 2^{kt}$ , a meia-vida $T_{1/2}$ relaciona-se com $k$ por $k = -\dfrac{1}{T_{1/2}}$ .

A pegadinha clássica dessa questão é o sinal: muitos candidatos, ao verem que a massa se reduz, esquecem de considerar que o expoente deve ser negativo e marcam uma alternativa com $k$ positivo. Outra armadilha é inverter a fração, trocando $\dfrac{1}{1600}$ por $\dfrac{1}{3200}$ ou $\dfrac{1}{6400}$ , que corresponderiam a meias-vidas de 3.200 e 6.400 anos, respectivamente. O raciocínio é direto: igualar as bases e resolver a equação exponencial resultante.

Guarde o passo a passo: (1) identificar o valor de $q(t)$ no tempo da meia-vida; (2) substituir na lei de formação; (3) igualar as bases e resolver para $k$ . É exatamente esse método que separa a alternativa correta das demais.

Decaimento radioativo — só Sinal de k: negativo; só Valor de k: 1/1600; Sinal de k∩Valor de k: D

Alternativa A — ❌ Incorreta

$k = -\dfrac{1}{6400}$ corresponderia a uma meia-vida de 6.400 anos, pois $k = -\dfrac{1}{T_{1/2}} \Rightarrow T_{1/2} = 6400$ . Esse valor é o quádruplo da meia-vida dada (1.600 anos), então não satisfaz a condição do problema. O erro aqui é usar um denominador incorreto, provavelmente por confundir a meia-vida com outro parâmetro ou por um erro de cálculo na divisão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$k = \dfrac{1}{1600}$ tem o valor absoluto correto, mas o sinal está errado. Com $k$ positivo, a função $q(t) = q_0 \cdot 2^{kt}$ seria crescente, indicando que a massa aumenta com o tempo — o oposto do decaimento radioativo. A banca explora aqui a confusão entre o módulo da constante e seu sinal: o candidato que calcula $k = \dfrac{1}{1600}$ e esquece de considerar que o decaimento exige expoente negativo cai nessa alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$k = \dfrac{1}{3200}$ está errado tanto no sinal quanto no valor absoluto. O valor positivo indicaria crescimento da massa, e o denominador 3.200 corresponderia a uma meia-vida de 3.200 anos, o dobro da informada. Essa alternativa combina dois erros: sinal trocado e fração invertida, sendo um distrator que mistura as duas pegadinhas mais comuns.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$k = -\dfrac{1}{1600}$ é exatamente o valor que satisfaz a condição de meia-vida. Substituindo $t = 1600$ na função, temos $q(1600) = q_0 \cdot 2^{-1} = \dfrac{q_0}{2}$ , que é a definição de meia-vida. O sinal negativo garante o decaimento, e o denominador 1.600 é o inverso da meia-vida, conforme a relação $k = -\dfrac{1}{T_{1/2}}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

$k = -\dfrac{1}{3200}$ tem o sinal correto (negativo, indicando decaimento), mas o valor absoluto está errado. O denominador 3.200 corresponderia a uma meia-vida de 3.200 anos, o dobro da informada no enunciado. O candidato que acerta o sinal, mas erra a fração, cai nessa alternativa — é o distrator mais próximo da correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora duas confusões simultâneas: o sinal de $k$ e o valor da fração. Metade das alternativas tem sinal positivo (B e C), que indicaria crescimento da massa — impossível num decaimento. A outra metade tem sinal negativo, mas apenas uma tem o denominador correto (1.600). O candidato que calcula $k = \dfrac{1}{1600}$ e esquece do sinal marca B; o que acerta o sinal, mas inverte a fração, marca E. A chave é sempre verificar se a função decresce com o tempo: para isso, $k$ deve ser negativo.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de meia-vida com função do tipo $q(t) = q_0 \cdot 2^{kt}$ , use a relação direta $k = -\dfrac{1}{T_{1/2}}$ . Basta substituir a meia-vida dada e pronto — sem precisar refazer a equação toda. Se a função fosse $q(t) = q_0 \cdot e^{kt}$ , a relação seria $k = -\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$ . Identifique a base da exponencial (2 ou $e$ ) e aplique a fórmula correspondente.

Gabarito: letra D