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Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — VUNESP 2025

MatemáticaRazões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
Código
vu218992
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )
Ao longo de um dia, a temperatura de uma localidade, em T(t) graus Fahrenheit, foi modelada por T(t)=-12cos\Bigl(π⋅t)/(12)Bigl+60, sendo t a hora do dia, com t = 0 correspondendo às 6 horas da manhã. Sabendo-se que a fórmula de conversão de temperatura da escala Fahrenheit para a escala Celsius é dada por T_{ºC}=TºF−321,8\dfrac{T_{ºF-32}}{1,8}, a temperatura, em graus Celsius, às 6 horas da tarde desse dia e nessa localidade era de, aproximadamente,
  1. A8,9 ºC.
  2. B23,3 ºC.
  3. C15,6 ºC.
  4. D18,9 ºC.
  5. E22,2 ºC.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 22,2 ºC.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 22,2 °C — alternativa E.

A ideia por trás

Uma função trigonométrica como o cosseno descreve grandezas que variam de forma periódica, ou seja, que se repetem em ciclos. Aqui ela modela a temperatura ao longo do dia: o argumento do cosseno é uma fração de π multiplicada pelo tempo, e o resultado oscila entre um valor máximo e um mínimo, com um valor médio de 60 °F. A amplitude é 12 °F, então a temperatura varia entre 48 °F e 72 °F.

A função T(t) = -12·cos(π·t/12) + 60 tem três partes: o -12 é a amplitude (metade da variação total), o π·t/12 controla a velocidade do ciclo (quando t vai de 0 a 24, o argumento vai de 0 a 2π, completando um dia), e o +60 é o valor médio. O sinal negativo inverte o cosseno: quando o argumento é 0 (t=0), o cosseno vale 1, então T = -12·1 + 60 = 48 °F, que é o valor mínimo. Quando o argumento é π (t=12), o cosseno vale -1, então T = -12·(-1) + 60 = 72 °F, o valor máximo. A conversão Fahrenheit→Celsius é uma transformação linear: subtrai 32 e divide por 1,8.

Esta questão cobra dois passos: primeiro, avaliar a função trigonométrica no instante correto (t = 12, não t = 18), e segundo, aplicar a conversão de temperatura. O erro mais comum é confundir a variável t com a hora do dia.

O que a questão dá

  • função: T(t) = -12·cos(π·t/12) + 60, com t em horas desde as 6h

  • t = 0 corresponde às 6 horas da manhã

  • fórmula de conversão: T_°C = (T_°F - 32) / 1,8

  • horário pedido: 6 horas da tarde (18h)

O que queremos: a temperatura em graus Celsius às 18h

Passo 1 — Descobrir o valor de t para as 18h

A função usa t como horas decorridas desde as 6h, não como a hora do relógio. Precisamos traduzir o horário pedido para essa escala antes de substituir na fórmula.

Por que esta fórmula: Das 6h às 18h passaram-se 12 horas, então t = 12. Não é uma fórmula, é uma contagem de tempo.

t=12t = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Usar t = 18, que é a hora do dia, mas a função conta horas desde as 6h — isso levaria a cos(3π/2) = 0 e resposta errada.

Passo 2 — Calcular a temperatura em Fahrenheit às 18h

Com t = 12, substituímos na função para obter a temperatura em °F, que é o que a conversão para Celsius exige.

Por que esta fórmula: É a própria função dada no enunciado, avaliada no ponto t = 12.

T(12)=−12⋅cos⁡(π⋅1212)+60T(12) = -12 \cdot \cos\left(\frac{\pi \cdot 12}{12}\right) + 60

De onde vem cada valor: −12-12 = enunciado: amplitude da função · π⋅12/12\pi \cdot 12 / 12 = passo 1: t = 12, substituído no argumento · 6060 = enunciado: valor médio da função

T(12)=−12⋅cos⁡(π)+60=72 ∘FT(12) = -12 \cdot \cos(\pi) + 60 = \boxed{72\ ^\circ \text{F}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal do cosseno de π: cos(π) = -1, não +1. Se usar +1, T = 48 °F, que convertido dá 8,9 °C (alternativa A).

Passo 3 — Converter 72 °F para Celsius

A questão pede a temperatura em Celsius, então aplicamos a fórmula de conversão ao valor que acabamos de obter.

Por que esta fórmula: A fórmula dada no enunciado é a relação direta entre as escalas: subtrai 32 (ponto de congelamento da água em °F) e divide por 1,8 (razão entre os tamanhos dos graus).

T°C=T°F−321,8T_{°C} = \frac{T_{°F} - 32}{1{,}8}

De onde vem cada valor: T°FT_{°F} = passo 2: 72 °F · 3232 = constante: ponto de congelamento da água em °F · 1,81{,}8 = constante: razão entre as escalas

T°C=72−321,8=22,2 ∘CT_{°C} = \frac{72 - 32}{1{,}8} = \boxed{22{,}2\ ^\circ \text{C}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fórmula, por exemplo usar T_°C = T_°F/1,8 - 32, o que daria 8 °C — ou esquecer de subtrair 32.

Resposta: 22,2 °C — alternativa E

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