Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2025

Sistemas Lineares: Representação Matricial

Gabarito: letra B. Após simplificar as equações, o sistema fica $\begin{cases} 2x - 3y = 3 \\ -x + 2y = 1 \end{cases}$, que na forma matricial $A \cdot X = B$ é $\begin{bmatrix}2&-3\\1&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$. A alternativa B é a única que apresenta a matriz dos coeficientes correta, a ordem correta da multiplicação (matriz de coeficientes à esquerda do vetor de incógnitas) e o vetor dos termos independentes correto.

O que é um sistema linear e sua forma matricial

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que devem ser satisfeitas simultaneamente. Cada equação é uma igualdade envolvendo incógnitas (como $x$ e $y$) elevadas à primeira potência, sem produtos entre elas. A solução do sistema é a sequência de valores que torna todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo.

A forma matricial é uma maneira compacta de representar o sistema, separando os coeficientes das incógnitas, as próprias incógnitas e os termos independentes. A estrutura geral é:

Onde:

• $A$ é a matriz dos coeficientes (os números que multiplicam as incógnitas);

• $X$ é o vetor das incógnitas ($x$, $y$, ...);

• $B$ é o vetor dos termos independentes (os números que ficam sozinhos no lado direito da igualdade).

A ordem da multiplicação é crucial: a matriz de coeficientes sempre vem à esquerda do vetor de incógnitas. Isso porque a multiplicação de matrizes não é comutativa — $A \cdot X \neq X \cdot A$ na maioria dos casos. A banca explora exatamente essa confusão nas alternativas A e D, que invertem a ordem.

Passo a passo da simplificação

Vamos simplificar cada equação do sistema original:

1. Primeira equação: $2x - 5y = 3 - 2y$

   • Somamos $2y$ em ambos os lados: $2x - 5y + 2y = 3$

   • Resultado: $2x - 3y = 3$

1. Segunda equação: $-x + 7 = 2y + 8$

   • Subtraímos $7$ de ambos os lados: $-x = 2y + 1$

   • Subtraímos $2y$ de ambos os lados: $-x - 2y = 1$

   • Multiplicamos por $-1$: $x + 2y = -1$

Atenção: a segunda equação simplificada é $x + 2y = -1$, e não $-x + 2y = 1$. Vamos verificar:

$-x + 7 = 2y + 8$

Subtraindo 7: $-x = 2y + 1$

Subtraindo $2y$: $-x - 2y = 1$

Multiplicando por $-1$: $x + 2y = -1$

Portanto, o sistema simplificado é:

Agora, a matriz dos coeficientes é $\begin{bmatrix}2&-3\\1&2\end{bmatrix}$ e o vetor dos termos independentes é $\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A apresenta a multiplicação na ordem invertida: $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&-3\\1&2\end{bmatrix}$. Isso não representa o sistema, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa. A forma correta é $A \cdot X = B$, com a matriz de coeficientes à esquerda. Além disso, o vetor dos termos independentes está correto ($\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$), mas a ordem da multiplicação invalida a alternativa.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa B apresenta exatamente a forma correta: $\begin{bmatrix}2&-3\\1&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$. A matriz dos coeficientes é $\begin{bmatrix}2&-3\\1&2\end{bmatrix}$, o vetor das incógnitas é $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ e o vetor dos termos independentes é $\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$. A ordem da multiplicação está correta (matriz à esquerda) e os valores estão corretos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta a matriz dos coeficientes como $\begin{bmatrix}2&-5\\-1&7\end{bmatrix}$, que são os coeficientes originais antes da simplificação, mas não os simplificados. Além disso, o vetor dos termos independentes é apresentado como uma matriz $\begin{bmatrix}3&-2\\2&8\end{bmatrix}$, o que não corresponde à forma correta. O vetor dos termos independentes deve ser uma coluna, não uma matriz 2x2.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta a multiplicação na ordem invertida: $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&-5\\-1&7\end{bmatrix}$. Além disso, a matriz dos coeficientes está incorreta (usa os coeficientes originais, não simplificados) e o vetor dos termos independentes é uma matriz 2x2, o que não corresponde à forma correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta a matriz dos coeficientes como $\begin{bmatrix}2&-7\\-1&-2\end{bmatrix}$, que não corresponde aos coeficientes simplificados. O vetor dos termos independentes é $\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$, mas o correto é $\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$. Portanto, a alternativa está incorreta.

Conclusão

A única alternativa que representa corretamente o sistema linear na forma matricial é a letra B.

Gabarito: letra B