Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2025

Grandezas proporcionais e a função afim

Gabarito: letra B. O valor total cobrado é $V(t) = 15 + 120t$; subtraindo a taxa fixa, obtém-se $V(t) - 15 = 120t$, que é diretamente proporcional a $t$ (a razão entre eles é a constante 120). As demais alternativas confundem a parte fixa com a parte variável ou invertem o conceito de proporcionalidade.

O problema descreve uma situação clássica de função afim (ou função do 1º grau): um valor fixo somado a um valor que varia com o tempo. A taxa fixa de R$ 15,00 é cobrada independentemente das horas trabalhadas — é o chamado custo fixo. Já os R$ 120,00 por hora representam o custo variável, que cresce proporcionalmente ao tempo de serviço. A função que modela o total é:

Para entender a proporcionalidade, é preciso lembrar a definição: duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante. Isso significa que, se uma dobra, a outra dobra; se uma triplica, a outra triplica. No caso de $V(t)$, a razão $V(t)/t$ não é constante, pois depende de $t$:

Veja que o termo $15/t$ varia conforme $t$ aumenta — logo, $V(t)$ não é diretamente proporcional a $t$. A proporcionalidade direta exige que a razão seja um número fixo, o que só acontece quando não há termo constante somado.

Agora, se subtrairmos a taxa fixa, obtemos exatamente a parte que varia com o tempo:

Aqui a razão é constante:

Isso significa que $V(t) - 15$ é diretamente proporcional a $t$, com constante de proporcionalidade igual a 120. Em outras palavras, a cada hora adicional, o valor acima da taxa fixa aumenta em R$ 120,00 — sempre na mesma proporção.

A pegadinha da questão está em reconhecer que a taxa fixa quebra a proporcionalidade direta entre o total e o tempo. Muitos candidatos marcam a alternativa A, pensando que "quanto mais horas, mais dinheiro" implica proporcionalidade direta. Mas a definição matemática exige mais: a razão entre as grandezas precisa ser constante, e a presença do termo fixo de R$ 15,00 impede isso. É exatamente essa distinção que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $V(t)$ é diretamente proporcional a $t$. Isso é falso porque a razão $V(t)/t = 15/t + 120$ não é constante — depende do valor de $t$. A presença da taxa fixa de R$ 15,00 faz com que, para $t = 1$, tenhamos $V(1) = 135$ e $V(1)/1 = 135$; para $t = 2$, $V(2) = 255$ e $V(2)/2 = 127,5$. A razão muda, logo não há proporcionalidade direta.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa está correta porque $V(t) - 15 = 120t$, e a razão entre $V(t) - 15$ e $t$ é constante e igual a 120. Isso caracteriza exatamente a proporcionalidade direta: ao dobrar o tempo, o valor acima da taxa fixa também dobra (de 120 para 240, por exemplo). A subtração da taxa fixa "isola" a parte variável, que é diretamente proporcional ao tempo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $V(t)$ é inversamente proporcional a $t$. Isso é falso: na proporcionalidade inversa, o produto entre as grandezas é constante ($V(t) \cdot t = k$), o que não ocorre aqui. Além disso, $V(t)$ cresce com $t$, enquanto na relação inversa uma grandeza cresce quando a outra diminui. A alternativa confunde o comportamento crescente com uma relação inversa, que é justamente o oposto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $V(t) - 15$ é inversamente proporcional a $t$. Isso é falso: $V(t) - 15 = 120t$, e o produto $(V(t) - 15) \cdot t = 120t^2$ não é constante — depende de $t$. A relação é de proporcionalidade direta, não inversa. A alternativa inverte o conceito, trocando a razão constante pelo produto constante.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $V(t)/15$ é diretamente proporcional a $t$. Isso é falso: $V(t)/15 = (15 + 120t)/15 = 1 + 8t$. A razão entre $V(t)/15$ e $t$ é $(1 + 8t)/t = 1/t + 8$, que não é constante. A divisão por 15 não elimina o termo fixo — apenas o transforma em 1, que continua quebrando a proporcionalidade. A alternativa tenta "disfarçar" a taxa fixa, mas ela permanece presente.

Gabarito: letra B