Questão de Matemática — Porcentagem — VUNESP 2025

Aumentos e descontos sucessivos

Gabarito: letra D — o valor de x é $\frac{100}{11}$. Para que o preço volte ao valor original após dois aumentos de 10% e duas reduções de x%, o produto dos fatores de variação deve ser igual a 1, o que leva à equação $1{,}1^2 \cdot (1 - x/100)^2 = 1$ e, resolvendo, $x = \frac{100}{11}$.

O problema trata de variações percentuais sucessivas. Quando um valor sofre um aumento de 10%, ele é multiplicado por $1 + 0{,}10 = 1{,}10$. Quando sofre uma redução de x%, ele é multiplicado por $1 - x/100$. A grande sacada é que, para o preço final voltar a ser igual ao inicial, o produto de todos os fatores de variação deve ser exatamente 1 (100%). Isso porque cada fator representa uma fração do valor anterior, e a multiplicação encadeada dessas frações resulta na fração final do preço original.

Vamos aplicar isso ao caso concreto. Se o preço inicial é $P$, após os dois aumentos de 10% ele vira $P \cdot 1{,}10 \cdot 1{,}10 = P \cdot 1{,}21$. Depois, com duas reduções de x%, o preço final é $P \cdot 1{,}21 \cdot (1 - x/100) \cdot (1 - x/100)$. Para que esse preço final seja igual a $P$, precisamos que $1{,}21 \cdot (1 - x/100)^2 = 1$. Isolando o fator de redução: $(1 - x/100)^2 = 1/1{,}21$. Como $1{,}21 = 121/100$, temos $1/1{,}21 = 100/121$. Extraindo a raiz quadrada (e considerando apenas a solução positiva, pois x é uma taxa de redução entre 0 e 100), obtemos $1 - x/100 = 10/11$. Portanto, $x/100 = 1 - 10/11 = 1/11$, e finalmente $x = 100/11$.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é achar que, como o preço subiu 10% duas vezes, bastaria reduzi-lo em 10% duas vezes para voltar ao valor inicial. Isso é falso! O aumento de 10% incide sobre um valor, e a redução de 10% incide sobre um valor maior (o valor já aumentado). Por isso, a redução necessária é sempre menor que o aumento, em termos percentuais. Para visualizar: se algo custa R$ 100 e sobe 10%, passa a custar R$ 110. Para voltar a R$ 100, a redução deve ser de R$ 10 sobre R$ 110, ou seja, aproximadamente 9,09%, que é exatamente $100/11 \%$. Esse é o raciocínio que separa quem acerta de quem cai na armadilha.

Guarde o critério decisivo: o produto dos fatores de variação deve ser 1. É essa equação que vai permitir julgar cada alternativa, pois todas elas são valores numéricos que precisam ser testados (ou melhor, o valor correto é o que satisfaz a equação).

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{298}{33}$ é aproximadamente 9,03. Se testarmos na equação, veremos que não a satisfaz. Esse número não corresponde a nenhum resultado intermediário relevante do problema; é um distrator numérico sem relação direta com os cálculos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 9,9 é um distrator que pode atrair quem faz uma conta aproximada ou errada. Se o aluno calcular a redução como se fosse sobre o preço original (10% sobre 100, por exemplo), pode chegar a um valor próximo, mas o correto é sobre o preço já aumentado. O valor exato é $\frac{100}{11} \approx 9{,}09$, não 9,9.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{892}{99}$ é aproximadamente 9,01. Assim como a alternativa A, não satisfaz a equação e não corresponde a nenhum passo intermediário do cálculo correto. É um distrator numérico.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Este é o valor exato encontrado na resolução. A equação $1{,}1^2 \cdot (1 - x/100)^2 = 1$ leva a $(1 - x/100)^2 = 100/121$, e como $100/121 = (10/11)^2$, temos $1 - x/100 = 10/11$, resultando em $x = 100/11$. Este valor é aproximadamente 9,09%, que é a redução necessária para compensar dois aumentos de 10%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 9,1 é uma aproximação de $\frac{100}{11} \approx 9{,}09$, mas não é o valor exato. A banca pode ter colocado essa alternativa para confundir quem faz a conta de forma aproximada e não chega à fração exata. O correto é a fração $\frac{100}{11}$.

Gabarito: letra D