Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

Análise Combinatória: combinação simples e o princípio multiplicativo

Gabarito: letra E — a comissão é formada por 2 meninas (escolhidas entre M) e 1 menino (escolhido entre N), e como a ordem dentro da comissão não importa, o número de possibilidades é dado por $\binom{M}{2} \cdot \binom{N}{1} = \dfrac{N \cdot M \cdot (M-1)}{2}$. A questão testa diretamente a aplicação da combinação simples e do princípio multiplicativo.

O problema pede para formar uma comissão com duas meninas e um menino. O ponto central é perceber que a ordem em que as pessoas são escolhidas não importa: a comissão {Ana, Beatriz, Carlos} é exatamente a mesma que {Carlos, Beatriz, Ana}. Quando a ordem não importa, usamos combinação, não arranjo ou permutação.

A combinação de $p$ elementos escolhidos entre $n$ disponíveis é dada por:

No nosso caso, temos duas escolhas independentes:

1. Escolher 2 meninas entre M meninas: $\binom{M}{2} = \dfrac{M!}{(M-2)! \cdot 2!} = \dfrac{M \cdot (M-1)}{2}$

2. Escolher 1 menino entre N meninos: $\binom{N}{1} = \dfrac{N!}{(N-1)! \cdot 1!} = N$

Como as escolhas são independentes e precisamos de ambas (duas meninas E um menino), aplicamos o princípio multiplicativo: multiplicamos as possibilidades de cada etapa.

Vamos testar com um exemplo concreto para fixar. Suponha que a sala tenha $N = 3$ meninos (A, B, C) e $M = 4$ meninas (1, 2, 3, 4). Pela fórmula:

Vamos conferir manualmente: escolher 2 meninas entre 4 dá $\binom{4}{2} = 6$ possibilidades (12, 13, 14, 23, 24, 34). Para cada par de meninas, temos 3 meninos disponíveis. Então $6 \times 3 = 18$ comissões. Bateu!

A pegadinha clássica deste tipo de questão é confundir combinação com arranjo. Se a ordem importasse (por exemplo, se houvesse cargos distintos como presidente e vice), usaríamos arranjo e a fórmula seria $M \cdot (M-1) \cdot N$, sem dividir por 2. Mas como a comissão é um grupo sem hierarquia, a divisão por 2 é essencial para não contar cada comissão duas vezes (Ana e Beatriz = Beatriz e Ana).

Outra armadilha é esquecer de aplicar o princípio multiplicativo e somar as possibilidades em vez de multiplicar. Como precisamos de meninas E menino simultaneamente, multiplicamos. A soma seria usada se tivéssemos alternativas mutuamente exclusivas (ou uma coisa, ou outra).

Guarde o critério decisivo: ordem importa? Se não importa, é combinação — e a divisão por $p!$ aparece. É exatamente nesse detalhe que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A fórmula $\dfrac{(N-1) \cdot (M-2)}{2}$ não corresponde a nenhuma contagem correta. Ela parece uma tentativa de aplicar a combinação, mas subtrai 1 de N e 2 de M sem justificativa. O correto é usar $N$ meninos e $M$ meninas, não $N-1$ e $M-2$. Além disso, o numerador não reflete a escolha de 2 meninas entre M (que deveria ser $M \cdot (M-1)$).

Alternativa B — ❌ Incorreta

$(N-1) \cdot (M-2)$ também está errada pelos mesmos motivos da alternativa A: subtrai valores indevidos de N e M. A contagem correta usa todos os $N$ meninos e todas as $M$ meninas. Além disso, não há divisão por 2, o que seria necessário para a combinação de 2 meninas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$N \cdot M \cdot (M-1)$ representa a contagem se a ordem importasse (arranjo): escolher 1 menino entre N e 2 meninas entre M, onde a ordem das meninas faz diferença. Mas na comissão a ordem não importa, então essa fórmula conta cada comissão duas vezes (Ana e Beatriz é o mesmo que Beatriz e Ana). Falta a divisão por 2.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\dfrac{N \cdot M \cdot (N-1)}{2}$ troca o papel de N e M. O fator $M \cdot (M-1)$ deveria vir das meninas (escolher 2 entre M), mas aqui aparece $N \cdot (N-1)$, que seria a escolha de 2 meninos entre N. A comissão pede 2 meninas e 1 menino, não o contrário.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A fórmula $\dfrac{N \cdot M \cdot (M-1)}{2}$ é exatamente a aplicação correta da combinação: escolher 2 meninas entre M ($\binom{M}{2} = \frac{M \cdot (M-1)}{2}$) e 1 menino entre N ($N$), multiplicando pelo princípio multiplicativo. A divisão por 2 elimina a duplicidade de ordem entre as duas meninas, e o produto $N \cdot M \cdot (M-1)$ conta todas as combinações possíveis de uma menina, outra menina e um menino.

Gabarito: letra E