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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu218997
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )
Um aquário com formato de cubo tem 8 litros de capacidade, medida de aresta representada por x cm e está cheio de água. Três quartos da água desse aquário será transferida para um segundo aquário, com formato de paralelepípedo reto-retângulo, de base com dimensões de x cm por x2\dfrac{x}{2} cm e altura y cm.   Considerando que as paredes dos dois aquários têm espessuras desprezíveis e que a água transferida corresponde à capacidade do segundo aquário, o valor de y é igual a
  1. A36.
  2. B32.
  3. C28.
  4. D40.
  5. E30.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 30.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a y = 30 cm — alternativa E.

A ideia por trás

Volume é a medida do espaço que um sólido ocupa. No cubo, todas as arestas são iguais, então o volume é o cubo da aresta: V = x³. No paralelepípedo reto-retângulo, o volume é o produto das três dimensões: comprimento × largura × altura. Capacidade, em litros, é o volume interno de um recipiente; 1 litro equivale a 1.000 cm³, pois 1 L = 1 dm³ e 1 dm³ = 1.000 cm³.

A relação central é a igualdade de volumes: o volume de água transferido (3/4 do cubo) preenche exatamente o segundo aquário, então o volume do paralelepípedo é igual a esse valor. Para o cubo, V_cubo = x³; para o paralelepípedo, V_par = (x) · (x/2) · y. Quando uma grandeza cresce, a outra também precisa crescer para manter a igualdade — por exemplo, se a base fosse maior, a altura y teria que ser menor para o mesmo volume.

Esta questão cobra a conversão de litros para cm³ e a aplicação das fórmulas de volume de cubo e paralelepípedo, exigindo que se iguale o volume transferido ao volume do segundo aquário para achar y.

O que a questão dá

  • capacidade do cubo = 8 litros

  • aresta do cubo = x cm

  • fração transferida = 3/4

  • base do paralelepípedo = x cm por x/2 cm

  • altura do paralelepípedo = y cm

O que queremos: o valor de y, a altura do segundo aquário

Passo 1 — Converter litros para centímetros cúbicos

As dimensões estão em centímetros, então o volume precisa estar em cm³ para que as contas fechem. A relação 1 L = 1.000 cm³ é a ponte entre capacidade e volume.

Por que esta fórmula: 1 litro é definido como 1 dm³, e 1 dm³ = 1.000 cm³, então multiplicamos o valor em litros por 1.000.

Vcubo=8×1000V_{cubo} = 8 \times 1000

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: capacidade de 8 litros · 10001000 = fator de conversão: 1 L = 1000 cm³

Vcubo=8×1000=8000 cm3V_{cubo} = 8 \times 1000 = \boxed{8000\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a conversão e usar 8 cm³ — isso daria aresta x = 2 cm e todo o resto errado.

Passo 2 — Calcular a aresta do cubo

Precisamos do valor de x para usar nas dimensões do segundo aquário. O volume do cubo é x³, então extraímos a raiz cúbica.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é aresta ao cubo, então a aresta é a raiz cúbica do volume.

x=Vcubo3x = \sqrt[3]{V_{cubo}}

De onde vem cada valor: VcuboV_{cubo} = passo 1: 8000 cm³

x=80003=20 cmx = \sqrt[3]{8000} = \boxed{20\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que x = 20³ = 8000 em vez de extrair a raiz — confundir a operação inversa.

Passo 3 — Calcular o volume de água transferido

O enunciado diz que 3/4 da água do cubo vai para o segundo aquário, e esse volume é exatamente a capacidade do segundo aquário. Precisamos desse valor para igualar ao volume do paralelepípedo.

Por que esta fórmula: Três quartos de um total é o total multiplicado por 3/4.

Vtransf=34×VcuboV_{transf} = \frac{3}{4} \times V_{cubo}

De onde vem cada valor: 34\frac{3}{4} = enunciado: três quartos · VcuboV_{cubo} = passo 1: 8000 cm³

Vtransf=34×8000=6000 cm3V_{transf} = \frac{3}{4} \times 8000 = \boxed{6000\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o volume total (8000) em vez do transferido (6000) — isso daria y = 40 cm, que é uma alternativa errada.

Passo 4 — Calcular a área da base do segundo aquário

O volume do paralelepípedo é área da base vezes altura. Com x = 20, a base mede 20 cm por 10 cm, e precisamos dessa área para isolar y.

Por que esta fórmula: A base é um retângulo de lados x e x/2, então a área é o produto desses lados.

Abase=x×x2A_{base} = x \times \frac{x}{2}

De onde vem cada valor: xx = passo 2: 20 cm · x2\frac{x}{2} = enunciado: x/2 cm

Abase=20×10=200 cm2A_{base} = 20 \times 10 = \boxed{200\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir x por 2 e usar 20 × 20 = 400 cm² — isso daria y = 15 cm.

Passo 5 — Igualar o volume transferido ao volume do paralelepípedo

O volume do segundo aquário é a base vezes a altura y, e ele deve ser igual ao volume de água transferido. Essa igualdade é o coração do problema.

Por que esta fórmula: Volume de um paralelepípedo é área da base × altura. Igualamos a 6000 cm³ e isolamos y.

Vtransf=Abase×yV_{transf} = A_{base} \times y

De onde vem cada valor: VtransfV_{transf} = passo 3: 6000 cm³ · AbaseA_{base} = passo 4: 200 cm²

6000=200×y6000 = 200 \times y
y=30 cmy = \boxed{30\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a divisão: fazer y = 200 ÷ 6000 = 0,033 — a altura deve ser maior que a base, então divida o volume pela área.

Resposta: y = 30 cm — alternativa E

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