Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Geometria Analítica: distância entre pontos sobre uma reta

Gabarito: letra C. O ponto Q tem abscissa $\dfrac{5-2\sqrt{5}}{10}$, pois, sendo P e Q pontos da reta $2x + y - 1 = 0$ e a distância entre eles igual a 1, a diferença de abscissas é $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$; como Q tem abscissa menor que a de P, subtraímos esse valor de $\dfrac{1}{2}$, obtendo exatamente a alternativa C.

O problema combina dois conceitos centrais da Geometria Analítica: a equação geral da reta e a fórmula da distância entre dois pontos. A equação geral $Ax + By + C = 0$ descreve todos os pontos $(x, y)$ que pertencem à reta. Dado um ponto com abscissa conhecida, podemos encontrar sua ordenada substituindo o valor de $x$ na equação. Já a distância entre dois pontos $P(x_P, y_P)$ e $Q(x_Q, y_Q)$ é dada por $d = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2}$.

A estratégia de resolução é: primeiro, determinar as coordenadas completas de P. Como $x_P = \dfrac{1}{2}$, substituímos na equação da reta para achar $y_P$:

Portanto, $P = \left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$. Agora, seja $Q = (x_Q, y_Q)$. Como Q também pertence à reta, vale $y_Q = 1 - 2x_Q$. A condição de distância $PQ = 1$ nos dá:

Substituindo $y_Q$:

Expandindo e simplificando, chegamos a uma equação do segundo grau em $x_Q$:

Resolvendo por Bhaskara, obtemos duas raízes: $x_Q = \dfrac{5 \pm 2\sqrt{5}}{10}$. A raiz com o sinal de mais ($\dfrac{5 + 2\sqrt{5}}{10} \approx 0,947$) é maior que $x_P = 0,5$; a raiz com o sinal de menos ($\dfrac{5 - 2\sqrt{5}}{10} \approx 0,053$) é menor. Como o enunciado exige que Q tenha abscissa menor que a de P, a resposta é a raiz com o sinal de menos.

A pegadinha clássica aqui é esquecer a condição "abscissa menor que a de P" e marcar a raiz com o sinal de mais, que também satisfaz a distância, mas não a restrição do problema. Outra armadilha é errar a expansão de $(1 - 2x_Q)^2$, trocando o sinal do termo cruzado.

Guarde o passo a passo: encontrar as coordenadas do ponto conhecido → expressar as coordenadas do ponto desconhecido usando a equação da reta → aplicar a fórmula da distância → resolver a equação do segundo grau → escolher a raiz que atende à condição extra do enunciado. É exatamente esse critério de seleção que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{5-\sqrt{5}}{10}$ é um distrator que surge de um erro comum na resolução da equação do segundo grau: ao aplicar Bhaskara, o candidato pode esquecer de multiplicar o termo $4ac$ pelo coeficiente $a$, ou errar a expansão de $(1 - 2x_Q)^2$, resultando em um discriminante incorreto. O valor correto tem $2\sqrt{5}$ no numerador, não apenas $\sqrt{5}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{4-\sqrt{5}}{10}$ também é um distrator. Ele pode resultar de um erro na manipulação algébrica, como subtrair $\sqrt{5}$ de 4 em vez de subtrair $2\sqrt{5}$ de 5, ou de um erro na simplificação da fração final. Não corresponde a nenhuma raiz da equação correta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a equação $5x_Q^2 - 5x_Q + \frac{1}{4} = 0$ tem raízes $x_Q = \dfrac{5 \pm 2\sqrt{5}}{10}$. A raiz com o sinal de menos, $\dfrac{5 - 2\sqrt{5}}{10}$, é a única que satisfaz a condição de Q ter abscissa menor que a de P ($\dfrac{1}{2}$). Portanto, esta é a resposta correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{\sqrt{5}-2}{5}$ é um distrator que pode surgir de uma simplificação incorreta da raiz correta, ou de um erro na resolução da equação. Note que $\dfrac{\sqrt{5}-2}{5} \approx 0,047$, que é próximo, mas não igual, ao valor correto $\dfrac{5 - 2\sqrt{5}}{10} \approx 0,053$. A diferença indica um erro na manipulação dos radicais.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{4-\sqrt{5}}{5}$ é outro distrator. Ele pode resultar de um erro na expansão de $(1 - 2x_Q)^2$ ou na aplicação da fórmula de Bhaskara, levando a um discriminante e a uma simplificação incorretos. Não corresponde a nenhuma raiz da equação correta.

Gabarito: letra C