GabaritoB — P e M.
Gabarito: letra B — o menor número é P = 5/3 ≈ 1,666... e o maior é M = ∛7 ≈ 1,9129. A questão pede para ordenar quatro números reais, dois deles expressos como radicais (M e O) e dois como frações (N e P). A resolução exige comparar valores aproximados ou elevar todos a uma potência comum para eliminar as raízes.
Números reais podem ser representados de várias formas: frações, decimais, raízes, etc. Para compará-los, precisamos colocá-los em uma forma comum. Frações são fáceis de comparar quando têm o mesmo denominador. Radicais são mais fáceis de comparar quando têm o mesmo índice. Aqui, temos raiz cúbica (índice 3) e raiz quadrada (índice 2). Uma estratégia eficiente é elevar todos os números a uma potência que elimine as raízes: o MMC dos índices (2 e 3) é 6. Elevando todos os números à sexta potência, as raízes desaparecem e ficamos apenas com números inteiros ou frações, fáceis de ordenar.
Vamos calcular:
M = ∛7 → M⁶ = (∛7)⁶ = 7² = 49
N = 7/4 → N⁶ = (7/4)⁶ = 117649 / 4096 ≈ 28,72
O = √3 → O⁶ = (√3)⁶ = 3³ = 27
P = 5/3 → P⁶ = (5/3)⁶ = 15625 / 729 ≈ 21,43
Agora a ordem fica clara: 21,43 < 27 < 28,72 < 49, ou seja, P < O < N < M. Portanto, o menor é P e o maior é M.
A função f(x) = x⁶ é estritamente crescente para x > 0. Isso significa que, se a < b, então a⁶ < b⁶. Como todos os números são positivos, podemos comparar suas sextas potências sem alterar a ordem. Essa é uma técnica poderosa para comparar radicais de índices diferentes.
A banca não quer que você calcule as raízes exatas (o que seria trabalhoso). Ela quer que você use uma estratégia de comparação. O candidato que tenta calcular ∛7 e √3 na mão pode errar ou perder tempo. A pegadinha está em não perceber que elevar a uma potência comum simplifica a comparação.
Imagine que você precisa comparar ∛7 e √3. Elevando ambos ao cubo, você teria 7 e 3√3 ≈ 5,196. Ainda não é direto. Elevando à sexta potência, você obtém 49 e 27, que são fáceis de comparar. Essa é a chave.
Frações e radicais são conjuntos diferentes de números, mas ambos são reais. A comparação entre eles exige uma representação comum. Elevar a uma potência comum é uma técnica geral, mas também podemos usar aproximações decimais. Por exemplo, ∛7 ≈ 1,913, √3 ≈ 1,732, 7/4 = 1,75 e 5/3 ≈ 1,667. Ordenando: 1,667 < 1,732 < 1,75 < 1,913. A mesma ordem.
Em questões de concurso, a comparação de números com raízes e frações é comum. A técnica de elevar a uma potência comum (MMC dos índices) é a mais segura e rápida. Memorize essa estratégia.
Número | Valor original | Sexta potência (M⁶, N⁶, O⁶, P⁶) | Valor aproximado | Ordem |
|---|---|---|---|---|
P | 5/3 | 15625/729 ≈ 21,43 | ≈ 1,667 | 1º (menor) |
O | √3 | 27 | ≈ 1,732 | 2º |
N | 7/4 | 117649/4096 ≈ 28,72 | 1,75 | 3º |
M | ∛7 | 49 | ≈ 1,913 | 4º (maior) |
Afirma que o menor é O (√3) e o maior é N (7/4). Isso está errado porque √3 ≈ 1,732 é maior que 5/3 ≈ 1,667, e 7/4 = 1,75 é menor que ∛7 ≈ 1,913. A ordem correta é P < O < N < M.
Afirma que o menor é P (5/3) e o maior é M (∛7). Isso está correto, como demonstrado: P⁶ ≈ 21,43, O⁶ = 27, N⁶ ≈ 28,72 e M⁶ = 49. Portanto, P é o menor e M é o maior.
Afirma que o menor é P (5/3) e o maior é O (√3). O menor está correto, mas o maior não: O⁶ = 27, enquanto M⁶ = 49 e N⁶ ≈ 28,72. O não é o maior.
Afirma que o menor é O (√3) e o maior é M (∛7). O maior está correto, mas o menor não: O⁶ = 27, enquanto P⁶ ≈ 21,43. O não é o menor.
Afirma que o menor é N (7/4) e o maior é O (√3). Ambos estão errados: N⁶ ≈ 28,72 é maior que P⁶ ≈ 21,43 e O⁶ = 27, e O não é o maior.
Para comparar números com raízes de índices diferentes, eleve todos à potência igual ao MMC dos índices. Isso elimina as raízes e transforma a comparação em uma simples ordenação de números inteiros ou frações. No caso, MMC(2,3) = 6.
Gabarito: letra B
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