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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu219001
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )

Um triângulo, plotado em um plano cartesiano, tem dois vértices pertencentes ao eixo x com abscissas que são, respectivamente, as raízes das funções f(x) = 3x + 15 e g(x) = 1 - \frac{x}{9} . O terceiro vértice é o ponto de intersecção dos gráficos dessas funções. A área desse triângulo, em unidades quadradas, é igual a

  1. A21,0
  2. B9,0
  3. C10,5
  4. D63,0
  5. E31,5
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 10,5

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Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 10,5 unidades quadradas — alternativa C.

A ideia por trás

A raiz de uma função é o valor de x que zera a função, ou seja, o ponto onde o gráfico corta o eixo x. No plano cartesiano, um triângulo tem três vértices; quando dois deles estão sobre o eixo x, o segmento entre eles é a base, e a distância do terceiro vértice até esse eixo é a altura. A área de qualquer triângulo é metade do produto da base pela altura.

Para funções do 1º grau (retas), a raiz é encontrada igualando a função a zero e resolvendo a equação. O ponto de intersecção de duas retas é obtido igualando as duas funções e resolvendo para x, depois substituindo em uma delas para achar y. A distância entre dois pontos no eixo x é a diferença entre suas abscissas, e a altura é o valor absoluto da ordenada do terceiro ponto.

Esta questão pede para combinar esses conceitos: achar as raízes, achar a intersecção e então aplicar a fórmula da área. O passo crítico é não esquecer de dividir por 2 na área.

O que a questão dá

  • f(x) = 3x + 15

  • g(x) = 1 - x/9

  • dois vértices sobre o eixo x, com abscissas iguais às raízes de f e g

  • terceiro vértice é a intersecção dos gráficos

O que queremos: a área do triângulo formado por esses três pontos

Passo 1 — Achar a raiz de f(x)

O enunciado diz que um vértice está sobre o eixo x com abscissa igual à raiz de f. Raiz é o x que zera a função, então precisamos resolver f(x) = 0.

Por que esta fórmula: Para uma função do 1º grau, a raiz é o valor de x que torna a expressão igual a zero. Isolamos x.

3x+15=03x + 15 = 0

De onde vem cada valor: 3x+153x + 15 = enunciado: f(x) = 3x + 15

3x+15=03x + 15 = 0
x=−5x = \boxed{-5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de passar o 15 para o outro lado com sinal trocado, obtendo x = 5.

Passo 2 — Achar a raiz de g(x)

O outro vértice sobre o eixo x tem abscissa igual à raiz de g. Precisamos dela para definir a base do triângulo.

Por que esta fórmula: Igualamos g(x) a zero e resolvemos para x.

1−x9=01 - \frac{x}{9} = 0

De onde vem cada valor: 1−x/91 - x/9 = enunciado: g(x) = 1 - x/9

1−x9=01 - \frac{x}{9} = 0
x=9x = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao isolar x, obtendo x = -9.

Passo 3 — Achar o ponto de intersecção das retas

O terceiro vértice é onde as duas retas se cruzam. Para achar esse ponto, igualamos as duas funções, pois no cruzamento elas têm o mesmo valor de y para o mesmo x.

Por que esta fórmula: Igualar f(x) e g(x) é a condição de intersecção. Resolvemos a equação resultante para x.

3x+15=1−x93x + 15 = 1 - \frac{x}{9}

De onde vem cada valor: 3x+153x + 15 = enunciado: f(x) · 1−x/91 - x/9 = enunciado: g(x)

3x+15=1−x93x + 15 = 1 - \frac{x}{9}
x=−4,5x = \boxed{-4{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma de frações: 3x + x/9 = (27x + x)/9 = 28x/9, e não 4x/9.

Passo 4 — Achar a ordenada do ponto de intersecção

Com o x da intersecção, precisamos do y para ter a altura do triângulo. Substituímos em qualquer uma das funções.

Por que esta fórmula: Como o ponto pertence às duas retas, usar f(x) ou g(x) dá o mesmo y. Escolhemos f(x).

y=3x+15y = 3x + 15

De onde vem cada valor: xx = passo 3: -4,5 · 3x+153x + 15 = enunciado: f(x)

y=3⋅(−4,5)+15y = 3 \cdot (-4{,}5) + 15
y=1,5y = \boxed{1{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Substituir em g(x) e errar a fração, obtendo y diferente.

Passo 5 — Calcular a base do triângulo

A base é o segmento entre os dois vértices sobre o eixo x. A distância entre eles é a diferença das abscissas.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos no eixo x é a diferença entre as coordenadas x, em valor absoluto.

base=∣xB−xA∣base = |x_B - x_A|

De onde vem cada valor: xAx_A = passo 1: -5 · xBx_B = passo 2: 9

base=∣9−(−5)∣base = |9 - (-5)|
base=14base = \boxed{14}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair, ou esquecer o valor absoluto, mas aqui a ordem não importa.

Passo 6 — Calcular a altura do triângulo

A altura é a distância do terceiro vértice até a base (o eixo x). Como a base está no eixo x, a altura é o valor absoluto da ordenada do ponto C.

Por que esta fórmula: A distância de um ponto (x,y) ao eixo x é |y|.

altura=∣yC∣altura = |y_C|

De onde vem cada valor: yCy_C = passo 4: 1,5

altura=∣1,5∣altura = |1{,}5|
altura=1,5altura = \boxed{1{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a abscissa -4,5 como altura, confundindo os eixos.

Passo 7 — Calcular a área do triângulo

Com base e altura, aplicamos a fórmula da área do triângulo. É o passo final.

Por que esta fórmula: A área de qualquer triângulo é metade do produto da base pela altura.

A=base×altura2A = \frac{base \times altura}{2}

De onde vem cada valor: basebase = passo 5: 14 · alturaaltura = passo 6: 1,5

A=14×1,52A = \frac{14 \times 1{,}5}{2}

AA = 10,5 unidades quadradas

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 21.

Resposta: 10,5 unidades quadradas — alternativa C

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