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Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2025

MatemáticaSistemas Lineares
Código
vu219002
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )
No sistema de equações:{x−y=102y+z=−1x+2w=−43z−w=15\begin{cases} x - y = 10\\2y+ z =-1\\x +2w = -4\\3z-w = 15 \end{cases} o valor de x + z – y + w é igual a
  1. A9
  2. B7
  3. C10
  4. D8
  5. E6
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 7

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 7 — alternativa B.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo para os mesmos valores das incógnitas. Aqui temos quatro equações e quatro incógnitas (x, y, z, w), o que normalmente permite achar uma solução única — um sistema possível e determinado. O objetivo não é só achar cada incógnita, mas calcular uma combinação específica delas.

A estratégia mais direta é o método da substituição: isolamos uma incógnita em uma equação e substituímos nas demais, reduzindo o número de incógnitas passo a passo. Cada equação é uma pista que relaciona as incógnitas; ao combinar as pistas, vamos eliminando variáveis até sobrar uma equação com uma só incógnita. Depois, voltamos de trás para frente para achar todas.

Esta questão cobra exatamente essa redução: começar isolando x e z nas duas primeiras equações, substituir nas outras duas para obter um sistema menor com y e w, resolver esse sistema e então voltar para achar x e z. No final, basta somar com os sinais certos.

O que a questão dá

  • x - y = 10

  • 2y + z = -1

  • x + 2w = -4

  • 3z - w = 15

O que queremos: o valor de x + z - y + w

Passo 1 — Isolar x na primeira equação

Para usar o método da substituição, precisamos de uma incógnita expressa em função de outra. A primeira equação é a mais simples para isso, pois x aparece sozinho.

Por que esta fórmula: A equação x - y = 10 pode ser reescrita somando y dos dois lados, o que isola x.

x=y+10x = y + 10

De onde vem cada valor: yy = enunciado: primeira equação · 1010 = enunciado: primeira equação

x=y+10x = y + 10
x=y+10x = \boxed{\text{y} + 10}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de trocar o sinal de y ao passar para o outro lado, escrevendo x = y - 10.

Passo 2 — Isolar z na segunda equação

Assim como x, z também aparece em uma equação simples. Isolá-lo agora permite substituir na quarta equação mais adiante.

Por que esta fórmula: A equação 2y + z = -1 pode ser resolvida para z subtraindo 2y dos dois lados.

z=−1−2yz = -1 - 2y

De onde vem cada valor: −1-1 = enunciado: segunda equação · 2y2y = enunciado: segunda equação

z=−1−2yz = -1 - 2y
z=−1 −2yz = \boxed{-1\ - 2\text{y}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover 2y: escrever z = 1 - 2y em vez de z = -1 - 2y.

Passo 3 — Substituir x na terceira equação

A terceira equação tem x e w; substituindo x pela expressão do passo 1, eliminamos x e ficamos com uma equação só com y e w.

Por que esta fórmula: Na equação x + 2w = -4, trocamos x por y + 10, pois são iguais.

y+2w=−14y + 2w = -14

De onde vem cada valor: yy = passo 1: x = y + 10 · 2w2w = enunciado: terceira equação · −14-14 = passo 1 e enunciado: (y + 10) + 2w = -4 → y + 2w = -14

(y+10)+2w=−4(y + 10) + 2w = -4
y+2w=−14y + 2w = \boxed{-14}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 10 dos dois lados, ficando com y + 2w = -4.

Passo 4 — Substituir z na quarta equação

A quarta equação tem z e w; substituindo z pela expressão do passo 2, eliminamos z e obtemos outra equação só com y e w.

Por que esta fórmula: Na equação 3z - w = 15, trocamos z por -1 - 2y.

−6y−w=18-6y - w = 18

De onde vem cada valor: −6y-6y = passo 2: z = -1 - 2y → 3z = -3 - 6y · −w-w = enunciado: quarta equação · 1818 = passo 2 e enunciado: 3(-1 - 2y) - w = 15 → -3 - 6y - w = 15 → -6y - w = 18

3(−1−2y)−w=153(-1 - 2y) - w = 15
−6y−w=18-6y - w = \boxed{18}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 3(-1 - 2y) = -3 - 6y, não -3 + 6y.

Passo 5 — Resolver o sistema com y e w

Agora temos duas equações com duas incógnitas, o que é resolvível. Isolamos y na primeira e substituímos na segunda para achar w.

Por que esta fórmula: Da equação y + 2w = -14, isolamos y = -14 - 2w. Substituindo na segunda equação, ficamos com uma equação só com w.

y=−14−2wy = -14 - 2w

De onde vem cada valor: −14-14 = passo 3: y + 2w = -14 · −2w-2w = passo 3: y + 2w = -14

−6(−14−2w)−w=18-6(-14 - 2w) - w = 18
w=−6w = \boxed{-6}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: -6(-14 - 2w) = 84 + 12w, não 84 - 12w.

Passo 6 — Achar y com o valor de w

Com w conhecido, voltamos à expressão de y para achar seu valor.

Por que esta fórmula: Usamos y = -14 - 2w, substituindo w = -6.

y=−14−2wy = -14 - 2w

De onde vem cada valor: −14-14 = passo 5 · −2w-2w = passo 5 · ww = passo 5: w = -6

y=−14−2(−6)y = -14 - 2(-6)
y=−2y = \boxed{-2}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: -2(-6) = +12, então y = -14 + 12 = -2, não -14 - 12.

Passo 7 — Achar x e z

Com y conhecido, usamos as expressões dos passos 1 e 2 para achar x e z.

Por que esta fórmula: Substituímos y = -2 em x = y + 10 e z = -1 - 2y.

x=y+10,z=−1−2yx = y + 10, z = -1 - 2y

De onde vem cada valor: yy = passo 6: y = -2 · 1010 = passo 1 · −1-1 = passo 2 · −2y-2y = passo 2

x=−2+10,z=−1−2(−2)x = -2 + 10, z = -1 - 2(-2)

x = 8, z = 3

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal em z: -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3, não -1 - 4.

Passo 8 — Calcular a expressão pedida

Agora que temos todos os valores, basta substituí-los na expressão x + z - y + w, cuidando dos sinais.

Por que esta fórmula: A expressão é uma soma algébrica; substituímos cada incógnita pelo seu valor.

x+z−y+wx + z - y + w

De onde vem cada valor: xx = passo 7: 8 · zz = passo 7: 3 · yy = passo 6: -2 · ww = passo 5: -6

8+3−(−2)+(−6)=78 + 3 - (-2) + (-6) = \boxed{7}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que -(-2) vira +2, ou somar w como +6 em vez de -6.

Resposta: 7 — alternativa B

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