Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — VUNESP 2025

Função exponencial: interseção de gráficos

Gabarito: letra D. A imagem das funções no ponto de interseção é $(0,04)^8$. Para chegar a isso, determinamos as expressões de $p$ e $q$ a partir dos pontos dados, igualamos as funções para encontrar o ponto de interseção e, por fim, calculamos o valor da função nesse ponto, que é $(0,04)^8$.

A ideia por trás

Uma função exponencial tem a forma $f(x) = a^x$, onde a base $a$ é um número real positivo e diferente de 1. A questão nos dá funções do tipo $f(x) = 5^{p(x)}$ e $g(x) = (0,04)^{q(x)}$, onde $p(x)$ e $q(x)$ são polinômios do 1º grau, ou seja, da forma $p(x) = ax + b$ e $q(x) = cx + d$. Nosso objetivo é descobrir essas expressões para depois encontrar o ponto onde as duas curvas se cruzam.

Vamos começar encontrando $p(x)$. Sabemos que $f(1/3) = 1$ e $f(0) = 1/5$. Como $f(x) = 5^{p(x)}$, temos:

• $f(1/3) = 5^{p(1/3)} = 1$. Como $5^0 = 1$, concluímos que $p(1/3) = 0$.

• $f(0) = 5^{p(0)} = 1/5$. Como $1/5 = 5^{-1}$, concluímos que $p(0) = -1$.

Agora temos dois pontos da reta $p(x) = ax + b$: $(1/3, 0)$ e $(0, -1)$. O coeficiente angular é $a = \frac{0 - (-1)}{1/3 - 0} = \frac{1}{1/3} = 3$. E como $p(0) = -1$, temos $b = -1$. Portanto, $p(x) = 3x - 1$.

Agora vamos encontrar $q(x)$. Sabemos que $g(3) = 1$ e $g(4) = 25$. Como $g(x) = (0,04)^{q(x)}$, temos:

• $g(3) = (0,04)^{q(3)} = 1$. Como qualquer número elevado a 0 é 1, concluímos que $q(3) = 0$.

• $g(4) = (0,04)^{q(4)} = 25$. Precisamos expressar 25 como uma potência de 0,04. Note que $0,04 = 4/100 = 1/25 = 25^{-1}$. Então, $(0,04)^{q(4)} = (25^{-1})^{q(4)} = 25^{-q(4)} = 25^1$. Logo, $-q(4) = 1$, ou seja, $q(4) = -1$.

Temos dois pontos da reta $q(x) = cx + d$: $(3, 0)$ e $(4, -1)$. O coeficiente angular é $c = \frac{-1 - 0}{4 - 3} = -1$. E como $q(3) = 0$, temos $3 \cdot (-1) + d = 0 \Rightarrow d = 3$. Portanto, $q(x) = -x + 3$.

Agora, para encontrar o ponto de interseção, igualamos as funções:

Como $0,04 = 1/25 = 5^{-2}$, podemos reescrever a equação:

Como as bases são iguais, igualamos os expoentes:

Agora, substituímos $x = -5$ em qualquer uma das funções para encontrar a imagem (o valor de $y$) no ponto de interseção. Vamos usar $f(x)$:

Precisamos expressar $5^{-16}$ como uma potência de 0,04. Como $0,04 = 5^{-2}$, temos:

Portanto, a imagem das funções no ponto de interseção é $(0,04)^8$, que corresponde à alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$(0,2)^{12}$ não é o valor da imagem no ponto de interseção. O candidato pode ter chegado a esse valor ao errar o cálculo do expoente de $p(x)$ ou $q(x)$, ou ao confundir a base 0,04 com 0,2. Note que $0,2 = 1/5 = 5^{-1}$, e $0,04 = (0,2)^2$. Se a imagem fosse $(0,2)^{12}$, isso seria igual a $(0,04)^6$, que não é o valor correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$(0,2)^{-3}$ não é o valor da imagem. Esse valor poderia surgir de um erro na resolução da equação exponencial, como inverter o sinal do expoente ou errar a base. Note que $(0,2)^{-3} = 5^3 = 125$, que não é o valor da imagem no ponto de interseção.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$(0,04)^{3/2}$ não é o valor da imagem. Esse valor poderia surgir de um erro ao calcular o ponto de interseção, como encontrar $x = 3/2$ em vez de $x = -5$. Se $x = 3/2$, então $f(3/2) = 5^{3(3/2) - 1} = 5^{7/2}$, que não é igual a $(0,04)^{3/2}$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a imagem das funções no ponto de interseção é $(0,04)^8$. Chegamos a esse valor encontrando as expressões de $p(x) = 3x - 1$ e $q(x) = -x + 3$, igualando as funções para achar $x = -5$ e, por fim, calculando $f(-5) = 5^{-16} = (0,04)^8$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$(0,008)^{4}$ não é o valor da imagem. Note que $0,008 = 8/1000 = 1/125 = 5^{-3}$. Então, $(0,008)^4 = (5^{-3})^4 = 5^{-12}$, que não é igual a $5^{-16}$. Esse valor poderia surgir de um erro ao converter a base ou ao calcular o expoente.

Gabarito: letra D