Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2025

MatemáticaCálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
vu219005
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )
Em uma rua plana e horizontal AB, um observador no ponto A avista o topo de um prédio sob um ângulo de visão, em relação ao solo, de 45º. No ponto B, distanciado em 20 metros do ponto A, esse observador avista o topo do prédio sob um ângulo de 60º. Também no ponto B, o observador avista a base do prédio, em um nível abaixo do nível em que ele se encontra, sob um ângulo de 30º, conforme figura a seguir. Com essas informações, é correto afirmar que a altura desse prédio é de, aproximadamente,Imagem associada para resolução da questão
  1. A69 m
  2. B61 m
  3. C65 m
  4. D67 m
  5. E63 m
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 63 m

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a h ≈ 63 m — alternativa E.

A ideia por trás

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. Ela relaciona uma distância horizontal com uma altura, e é a ferramenta certa quando o problema dá ângulos de visada e distâncias no chão.

Em um triângulo retângulo, tan(θ) = cateto oposto / cateto adjacente. Se o ângulo cresce, a tangente cresce, o que significa que, para uma mesma distância horizontal, um ângulo maior corresponde a uma altura maior. Essa relação vale para ângulos entre 0° e 90°, que é o caso das visadas.

Esta questão monta dois triângulos retângulos a partir do ponto B (um para o topo, um para a base) e um a partir do ponto A. A chave é perceber que a altura do observador é a mesma nos três, o que permite relacionar as distâncias e achar a altura do prédio.

O que a questão dá

  • distância entre A e B = 20 m

  • ângulo de visão do topo em A = 45°

  • ângulo de visão do topo em B = 60°

  • ângulo de depressão da base em B = 30°

O que queremos: a altura do prédio

Passo 1 — Definir as incógnitas do problema

Antes de montar equações, precisamos nomear o que não sabemos: a altura do prédio (h), a altura do observador (x) e a distância horizontal do ponto B até a base do prédio (d). Com esses nomes, conseguimos escrever as relações trigonométricas.

NÃO CAIA NESSA!

Não definir as variáveis e se perder na hora de montar as equações.

Passo 2 — Montar a equação do triângulo em B com o topo

No ponto B, o observador vê o topo sob 60°. A altura do topo em relação ao observador é h - x, e a distância horizontal é d. A tangente de 60° relaciona esses dois lados.

Por que esta fórmula: Usamos tangente porque temos o cateto oposto (altura) e o cateto adjacente (distância horizontal).

tan⁡60∘=h−xd\tan 60^\circ = \frac{h - x}{d}

De onde vem cada valor: h−xh - x = definição: altura do topo em relação ao observador · dd = definição: distância horizontal de B até a base

3=h−xd\sqrt{3} = \frac{h - x}{d}
h−x=d3h - x = \boxed{d\sqrt{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o cateto oposto com o adjacente.

Passo 3 — Montar a equação do triângulo em B com a base

O ângulo de depressão de 30° para a base forma um triângulo retângulo com a altura do observador (x) e a distância horizontal (d). Isso nos dá uma relação entre x e d.

Por que esta fórmula: Novamente tangente, pois temos cateto oposto (x) e cateto adjacente (d).

tan⁡30∘=xd\tan 30^\circ = \frac{x}{d}

De onde vem cada valor: xx = definição: altura do observador · dd = definição: distância horizontal de B até a base

13=xd\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{d}
x=d3x = \boxed{\frac{d}{\sqrt{3}}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o ângulo de 30° como se fosse de elevação, invertendo a razão.

Passo 4 — Montar a equação do triângulo em A com o topo

No ponto A, a distância horizontal até a base é d + 20, e a altura do topo em relação ao observador é a mesma h - x. O ângulo de 45° nos dá outra relação.

Por que esta fórmula: Tangente de 45° é 1, o que simplifica a equação.

tan⁡45∘=h−xd+20\tan 45^\circ = \frac{h - x}{d + 20}

De onde vem cada valor: h−xh - x = definição: altura do topo em relação ao observador · d+20d + 20 = definição: distância horizontal de A até a base (d + 20)

1=h−xd+201 = \frac{h - x}{d + 20}
h−x=d+20h - x = \boxed{\text{d} + 20}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 20 metros na distância horizontal.

Passo 5 — Igualar as expressões de h - x e achar d

As equações dos passos 2 e 4 dão duas expressões para h - x. Igualando-as, eliminamos h e x e ficamos com uma equação só para d.

Por que esta fórmula: Como ambas valem h - x, podemos igualar os lados direitos.

d3=d+20d\sqrt{3} = d + 20

De onde vem cada valor: d3d\sqrt{3} = passo 2 · d+20d + 20 = passo 4

d3=d+20d\sqrt{3} = d + 20
d=203−1d = \boxed{\frac{20}{\sqrt{3} - 1}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a manipulação algébrica ao isolar d.

Passo 6 — Racionalizar e calcular d

Para obter um valor numérico, precisamos racionalizar o denominador, pois √3 é irracional.

Por que esta fórmula: Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado (√3 + 1) para eliminar a raiz do denominador.

d=20(3+1)(3−1)(3+1)d = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}

De onde vem cada valor: 2020 = passo 5 · 3+1\sqrt{3} + 1 = definição: conjugado de \sqrt{3} - 1

d=20(3+1)3−1d = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}
d=10(3+1)≈27,3 md = \boxed{10(\sqrt{3} + 1) \approx 27{,}3 \text{ m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de racionalizar e tentar calcular com denominador irracional.

Passo 7 — Calcular a altura do prédio h

Com d conhecido, usamos a relação do passo 4 (h - x = d + 20) e a do passo 3 (x = d/√3) para achar h.

Por que esta fórmula: Substituímos x na equação de h - x para obter h diretamente.

h=d+20+d3h = d + 20 + \frac{d}{\sqrt{3}}

De onde vem cada valor: dd = passo 6: 27,3 m · 2020 = enunciado: distância AB · d3\frac{d}{\sqrt{3}} = passo 3: x · 3\sqrt{3} = constante: √3 ≈ 1,73

h=27,3+20+27,31,73=h≈63 mh = 27{,}3 + 20 + \frac{27{,}3}{1,73} = \boxed{h \approx 63 \text{ m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a altura do observador x.

Resposta: h ≈ 63 m — alternativa E

Link permanente: /questoes/vu219005