Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Geometria Analítica: ponto mais próximo da origem em uma circunferência

Gabarito: letra A. O ponto da circunferência mais próximo da origem é o ponto de interseção da circunferência com o segmento que liga o centro ao ponto (0,0), e sua abscissa é $\frac{3(2 - \sqrt{2})}{2}$. Isso porque, completando quadrados, a equação $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 9 = 0$ representa uma circunferência de centro $(3,3)$ e raio $3$; o ponto procurado está sobre a reta que une a origem ao centro, a uma distância do centro igual ao raio, na direção da origem.

O problema pede para encontrar o ponto de uma circunferência que está mais próximo de um ponto dado (a origem). A ideia central é que, dado um ponto externo a uma circunferência, o ponto da circunferência mais próximo dele está sobre a reta que liga o ponto externo ao centro da circunferência. Isso ocorre porque a distância de um ponto externo a qualquer ponto da circunferência é minimizada quando o ponto escolhido está alinhado com o centro, do lado do ponto externo.

Primeiro, precisamos identificar o centro e o raio da circunferência a partir da equação geral. A equação fornecida é $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 9 = 0$. Para encontrar o centro e o raio, completamos quadrados:

$x^2 - 6x + y^2 - 6y + 9 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 6y + 9) = 9$

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9$

Portanto, o centro é $C = (3, 3)$ e o raio é $r = \sqrt{9} = 3$.

Agora, o ponto $P$ procurado está sobre a reta que passa pela origem $O = (0,0)$ e pelo centro $C = (3,3)$. Essa reta tem equação $y = x$, pois ambos os pontos têm coordenadas iguais. O ponto $P$ é a interseção da circunferência com a reta $y = x$, mas precisamos escolher a interseção que está mais próxima da origem. Como o centro está em $(3,3)$ e a origem em $(0,0)$, o ponto mais próximo da origem é aquele que está entre a origem e o centro, ou seja, o ponto da circunferência que está no segmento de reta que liga a origem ao centro.

Substituindo $y = x$ na equação da circunferência:

$(x - 3)^2 + (x - 3)^2 = 9$

$2(x - 3)^2 = 9$

$(x - 3)^2 = \frac{9}{2}$

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

$x = 3 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Temos duas soluções: $x = 3 + \frac{3}{\sqrt{2}}$ e $x = 3 - \frac{3}{\sqrt{2}}$. O ponto mais próximo da origem é aquele com o menor valor de $x$ (e também de $y$, pois $y = x$), que é $x = 3 - \frac{3}{\sqrt{2}}$. Racionalizando:

$x = 3 - \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{2} = \frac{3(2 - \sqrt{2})}{2}$

Portanto, a abscissa do ponto $P$ é $\frac{3(2 - \sqrt{2})}{2}$, que corresponde à alternativa A.

A pegadinha desta questão está em escolher a interseção errada da reta com a circunferência. O candidato pode encontrar as duas interseções e, sem pensar, marcar a que tem $x = 3 + \frac{3}{\sqrt{2}}$, que é o ponto mais distante da origem. É crucial lembrar que o ponto mais próximo está entre a origem e o centro.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta exatamente o valor encontrado: $\frac{3(2 - \sqrt{2})}{2}$. O ponto $P$ é a interseção da circunferência com a reta $y = x$ que está mais próxima da origem, e sua abscissa é $3 - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3(2 - \sqrt{2})}{2}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $3\sqrt{2} - 1$ não corresponde a nenhuma das interseções da reta $y = x$ com a circunferência. As interseções são $3 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$, que racionalizadas ficam $3 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$. O valor $3\sqrt{2} - 1$ não se encaixa nessa forma, indicando um erro de cálculo ou de interpretação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{6(2 - 1)}{\sqrt{5}}$ simplifica para $\frac{6}{\sqrt{5}}$, que não é uma das interseções. Além disso, a presença de $\sqrt{5}$ no denominador não tem relação com o problema, pois o raio é 3 e a distância do centro à origem é $3\sqrt{2}$, não envolvendo $\sqrt{5}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{3(2 - 1)}{\sqrt{2}}$ simplifica para $\frac{3}{\sqrt{2}}$, que é a distância do centro à origem dividida por 2, mas não é a abscissa do ponto procurado. O valor correto envolve subtrair essa quantidade de 3, não apenas dividir.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{3(2 - 5)}{\sqrt{2}}$ simplifica para $\frac{-9}{\sqrt{2}}$, que é negativa. Como o centro da circunferência está em $(3,3)$ e o raio é 3, a abscissa do ponto mais próximo da origem é positiva (entre 0 e 3), então um valor negativo não pode ser a resposta.

Gabarito: letra A