GabaritoB — -cos(π/6)
Gabarito: letra B. O valor de sen(10π/3) é igual a −cos(π/6), pois 10π/3 equivale a 600°, que reduzido ao primeiro quadrante corresponde ao arco de 60° no terceiro quadrante, onde o seno é negativo e vale −√3/2, exatamente o valor de −cos(π/6).
A questão cobra a habilidade de reduzir um arco qualquer ao primeiro quadrante e conhecer os valores notáveis das funções trigonométricas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, na qual o seno de um ângulo é a coordenada y do ponto correspondente e o cosseno é a coordenada x. Para arcos maiores que 2π (360°), basta subtrair múltiplos de 2π até obter um arco entre 0 e 2π, pois as funções seno e cosseno são periódicas com período 2π.
Vamos calcular: 10π/3 = 3π + π/3. Como 3π = 2π + π, temos 10π/3 = 2π + π + π/3 = 2π + 4π/3. Portanto, sen(10π/3) = sen(4π/3). O arco 4π/3 (240°) está no terceiro quadrante, onde o seno é negativo. O arco correspondente no primeiro quadrante é 4π/3 − π = π/3 (60°). Assim, sen(4π/3) = −sen(π/3) = −√3/2.
Agora, analisamos as alternativas. O valor de −cos(π/6) é −cos(30°) = −√3/2, que coincide com o valor encontrado. As demais alternativas apresentam valores diferentes: sen(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2, e cossec(π/6) = 2. Portanto, a alternativa correta é a letra B.
A pegadinha da banca está em exigir que o candidato faça a redução correta do arco e, além disso, conheça os valores notáveis de seno e cosseno para 30° e 60°. Muitos candidatos podem reduzir 10π/3 para 4π/3, mas errar o sinal ou confundir seno com cosseno. A chave é lembrar que no terceiro quadrante tanto o seno quanto o cosseno são negativos, e que sen(π/3) = cos(π/6) = √3/2.
Critério | sen(10π/3) | −cos(π/6) (gabarito) | sen(π/6) | cos(π/6) | cossec(π/6) |
|---|---|---|---|---|---|
Valor numérico | −√3/2 | −√3/2 | 1/2 | √3/2 | 2 |
Sinal | Negativo | Negativo | Positivo | Positivo | Positivo |
Função envolvida | Seno (reduzido ao 3º quadrante) | Cosseno (com sinal trocado) | Seno | Cosseno | Cossecante (inverso do seno) |
Igualdade com sen(10π/3)? | — | ✅ Sim | ❌ Não | ❌ Não | ❌ Não |
O valor de −sen(π/6) é −1/2, que não é igual a −√3/2. O erro está em usar o seno de 30° em vez do cosseno de 30° (ou do seno de 60°).
O valor de −cos(π/6) é −√3/2, que é exatamente o valor de sen(10π/3). A redução correta do arco e o conhecimento dos valores notáveis confirmam a igualdade.
O valor de sen(π/6) é 1/2, que é positivo e não corresponde ao valor negativo de sen(10π/3). O erro está em não considerar o sinal negativo do terceiro quadrante.
O valor de cos(π/6) é √3/2, que é positivo, enquanto sen(10π/3) é negativo. A alternativa troca o sinal e a função.
O valor de cossec(π/6) é 1/sen(π/6) = 2, que é positivo e diferente de −√3/2. A alternativa confunde a função cossecante com o seno ou cosseno.
Gabarito: letra B
Link permanente: /questoes/vu219010