Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219013

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 28 vezes — alternativa B.

A ideia por trás

Quando dois eventos acontecem em intervalos regulares, o mínimo múltiplo comum (MMC) dos intervalos indica de quanto em quanto tempo eles coincidem. Aqui, os eventos são as transmissões dos submarinos: A a cada 5 minutos, B a cada 8 minutos. O MMC de 5 e 8 é 40, pois são primos entre si, então a cada 40 minutos os dois transmitem juntos.

Para contar quantas vezes cada submarino transmite em um período, dividimos o tempo total pelo intervalo e somamos 1 (incluindo o instante inicial). Mas as coincidências (múltiplos do MMC) devem ser contadas uma única vez, pois nesses momentos a central recebe os dois sinais ao mesmo tempo, o que não conta como 'apenas um'. A resposta é a soma das transmissões exclusivas de cada um.

Esta questão exige calcular o número de transmissões de cada submarino no intervalo de 102 minutos, identificar as coincidências (a cada 40 minutos) e subtraí-las da contagem de cada um, para obter apenas os instantes em que um único sinal chega.

O que a questão dá

intervalo do submarino A = 5 minutos
intervalo do submarino B = 8 minutos
início: 12h00
fim: 13h42

O que queremos: quantas vezes a central recebeu sinal de apenas um submarino entre 12h00 e 13h42

Passo 1 — Calcular o tempo total em minutos

Precisamos do tempo total em minutos para contar quantas transmissões ocorrem. De 12h00 às 13h42 são 1 hora e 42 minutos, que convertemos para minutos.

Por que esta fórmula: 1 hora = 60 minutos, então somamos 60 + 42.

T = 60 + 42

De onde vem cada valor: $60$ = constante: 1 hora = 60 minutos · $42$ = enunciado: 13h42 - 12h00 = 1h42, e 42 minutos

T = 60 + 42 = \boxed{102\ \text{minutos}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter horas em minutos e usar 1,42 como se fosse 1,42 horas.

Passo 2 — Contar as transmissões do submarino A

O submarino A transmite a cada 5 minutos. Para saber quantas vezes ele transmite até o minuto 102, contamos os múltiplos de 5 de 0 a 102, incluindo o instante inicial.

Por que esta fórmula: O número de múltiplos de 5 até 102 é dado por 102 ÷ 5 = 20,4, então o maior múltiplo é 100. Como incluímos o 0, o total é 20 + 1 = 21.

n_A = \left\lfloor \frac{102}{5} \right\rfloor + 1

De onde vem cada valor: $102$ = passo 1 · $5$ = enunciado: intervalo do submarino A = 5 minutos

n_A = \left\lfloor \frac{102}{5} \right\rfloor + 1 = 20 + 1 = \boxed{21\ \text{transmiss}õ\text{es}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o instante 0, contando apenas 20.

Passo 3 — Contar as transmissões do submarino B

O submarino B transmite a cada 8 minutos. Contamos os múltiplos de 8 até 102, incluindo o instante inicial.

Por que esta fórmula: O maior múltiplo de 8 até 102 é 96 (pois 102 ÷ 8 = 12,75). Incluindo o 0, o total é 12 + 1 = 13.

n_B = \left\lfloor \frac{102}{8} \right\rfloor + 1

De onde vem cada valor: $102$ = passo 1 · $8$ = enunciado: intervalo do submarino B = 8 minutos

n_B = \left\lfloor \frac{102}{8} \right\rfloor + 1 = 12 + 1 = \boxed{13\ \text{transmiss}õ\text{es}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 102 ÷ 8 = 12,75 e arredondar para 13, contando 14 transmissões.

Passo 4 — Achar os instantes em que os dois transmitem juntos

Os dois submarinos transmitem juntos nos múltiplos comuns de 5 e 8, ou seja, nos múltiplos do MMC. Como 5 e 8 são primos entre si, o MMC é 5 × 8 = 40. Precisamos contar quantos múltiplos de 40 existem até 102.

Por que esta fórmula: O MMC de dois números primos entre si é o produto deles. Os múltiplos de 40 até 102 são 0, 40 e 80, totalizando 3.

n_{juntos} = \left\lfloor \frac{102}{40} \right\rfloor + 1

De onde vem cada valor: $102$ = passo 1 · $40$ = definição: MMC(5,8) = 5 × 8 = 40

n_{juntos} = \left\lfloor \frac{102}{40} \right\rfloor + 1 = 2 + 1 = \boxed{3\ \text{coincid}ê\text{ncias}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o instante 0, contando apenas 2.

Passo 5 — Subtrair as coincidências de cada submarino

Nos instantes em que os dois transmitem juntos, a central recebe os dois sinais, então esses instantes não contam como 'apenas um'. Precisamos excluí-los da contagem de cada submarino.

Por que esta fórmula: O número de transmissões exclusivas de A é o total de A menos as coincidências; o mesmo para B.

A_{exclusivo} = n_A - n_{juntos}

De onde vem cada valor: $n_A$ = passo 2: 21 · $n_{juntos}$ = passo 4: 3

A_{exclusivo} = 21 - 3

$A_{exclusivo}$ = 18 transmissões exclusivas de A

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas uma vez as coincidências do total somado, em vez de subtrair de cada submarino.

Passo 6 — Calcular as transmissões exclusivas de B

O mesmo raciocínio para o submarino B.

Por que esta fórmula: B_{exclusivo} = n_B - n_{juntos}

B_{exclusivo} = n_B - n_{juntos}

De onde vem cada valor: $n_B$ = passo 3: 13 · $n_{juntos}$ = passo 4: 3

B_{exclusivo} = 13 - 3

$B_{exclusivo}$ = 10 transmissões exclusivas de B

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair as coincidências de B, contando 13.

Passo 7 — Somar as transmissões exclusivas

A central recebe sinal de apenas um submarino quando ocorre uma transmissão exclusiva de A ou de B. Somamos os dois valores.

Por que esta fórmula: Total = A_{exclusivo} + B_{exclusivo}

Total = A_{exclusivo} + B_{exclusivo}

De onde vem cada valor: $A_{exclusivo}$ = passo 5: 18 · $B_{exclusivo}$ = passo 6: 10

Total = 18 + 10 = \boxed{28\ \text{vezes}}

NÃO CAIA NESSA!

Somar os totais brutos (21 + 13 = 34) sem subtrair as coincidências, caindo na alternativa A.

Resposta: 28 vezes — alternativa B

Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular o tempo total em minutos

Passo 2 — Contar as transmissões do submarino A

Passo 3 — Contar as transmissões do submarino B

Passo 4 — Achar os instantes em que os dois transmitem juntos

Passo 5 — Subtrair as coincidências de cada submarino

Passo 6 — Calcular as transmissões exclusivas de B

Passo 7 — Somar as transmissões exclusivas