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Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2025

MatemáticaSistemas Lineares
Código
vu219015
Banca
VUNESP
Órgão
TJM SP
Ano
2025
Cargo
Ana BDJ ( )

Um sistema de localização opera através de coordenadas para determinar a posição de um evento ou objeto no espaço. Para determinar as coordenadas de certo evento de interesse militar, esse programa precisou solucionar o sistema de equações do primeiro grau formado pelas seguintes 3 equações:

 

I. 2x + y – z = –1

 

II. x + y + z = 6

 

III. 2y – z = 5

 

Uma vez determinados os valores que solucionam esse sistema, é correto afirmar que x2 + y2 + z2 é igual a

  1. A41.
  2. B6.
  3. C26.
  4. D12.
  5. E24.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 26.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a x² + y² + z² = 26 — alternativa C.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Resolver o sistema é achar os valores de x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente. Existem vários métodos, e o da substituição é um dos mais diretos quando uma equação já isola uma variável.

A ideia central é reduzir o sistema: isolar uma variável em uma equação e substituí-la nas outras, transformando o problema de 3 equações e 3 incógnitas em um de 2 equações e 2 incógnitas. Depois de resolver esse sistema menor, volta-se para a variável isolada. Esse processo é sistemático e evita erros de conta.

Nesta questão, a terceira equação já dá z em função de y, então o caminho natural é substituir z nas duas primeiras equações, obtendo um sistema só com x e y. Depois de achar x e y, calcula-se z e finalmente a soma dos quadrados.

O que a questão dá

  • 2x + y - z = -1

  • x + y + z = 6

  • 2y - z = 5

O que queremos: o valor de x² + y² + z²

Passo 1 — Isolar z na terceira equação

A terceira equação tem apenas y e z, então é a mais simples para expressar uma variável em função da outra. Isolar z aqui permite substituí-lo nas outras duas equações, eliminando uma incógnita de cada vez.

Por que esta fórmula: A equação é 2y - z = 5. Somando z dos dois lados e subtraindo 5, obtemos z = 2y - 5.

z=2y−5z = 2y - 5

De onde vem cada valor: yy = enunciado: incógnita da equação III · 22 = enunciado: coeficiente de y na equação III · 55 = enunciado: termo independente da equação III

z=2y−5z = 2y - 5
z=2 y−5z = \boxed{2\ \text{y} - 5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao isolar: lembrar que -z = 5 - 2y, então z = 2y - 5.

Passo 2 — Substituir z na segunda equação

Com z expresso em função de y, a segunda equação passa a ter apenas x e y, reduzindo o sistema. Isso é o coração do método da substituição.

Por que esta fórmula: Na equação II, x + y + z = 6, trocamos z por 2y - 5. Então x + y + (2y - 5) = 6, que simplifica para x + 3y = 11.

x+3y=11x + 3y = 11

De onde vem cada valor: xx = enunciado: incógnita da equação II · 3y3y = passo 1: z = 2y - 5, então y + z = y + 2y - 5 = 3y - 5 · 1111 = passo 1: 6 + 5 = 11

x+y+(2y−5)=6⇒x+3y=11x + y + (2y - 5) = 6 \Rightarrow x + 3y = 11
x+3y=11x + 3y = \boxed{11}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o 5 que passa para o outro lado: x + 3y = 6 - 5 = 1, o que daria errado.

Passo 3 — Substituir z na primeira equação

Assim como na segunda, a primeira equação também ganha uma versão só com x e y. Agora temos duas equações com as mesmas duas incógnitas, formando um sistema 2x2.

Por que esta fórmula: Na equação I, 2x + y - z = -1, substituímos z por 2y - 5. Cuidado com o sinal de menos: 2x + y - (2y - 5) = -1, que vira 2x - y = -6.

2x−y=−62x - y = -6

De onde vem cada valor: 2x2x = enunciado: termo 2x da equação I · −y-y = passo 1: y - 2y = -y · −6-6 = passo 1: -1 - 5 = -6

2x+y−(2y−5)=−1⇒2x−y=−62x + y - (2y - 5) = -1 \Rightarrow 2x - y = -6
2x−y=−62x - y = \boxed{-6}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao distribuir o menos: 2x + y - 2y + 5 = -1, e não 2x + y - 2y - 5.

Passo 4 — Resolver o sistema 2x2

Agora temos duas equações com x e y. Vamos isolar x na primeira e substituir na segunda, ou usar o método da adição. Aqui, isolamos x na equação x + 3y = 11.

Por que esta fórmula: Da equação x + 3y = 11, subtraímos 3y dos dois lados: x = 11 - 3y. Depois substituímos na outra equação.

x=11−3yx = 11 - 3y

De onde vem cada valor: 1111 = passo 2: termo independente da equação x + 3y = 11 · 3y3y = passo 2: coeficiente de y na equação x + 3y = 11

x=11−3yx = 11 - 3y
x=11 −3yx = \boxed{11\ - 3\text{y}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os sinais ao isolar: x = 11 - 3y, não x = 3y - 11.

Passo 5 — Substituir x na equação 2x - y = -6

Com x em função de y, a equação 2x - y = -6 vira uma equação só com y, que podemos resolver diretamente.

Por que esta fórmula: Substituindo x = 11 - 3y em 2x - y = -6, temos 2(11 - 3y) - y = -6, que simplifica para 22 - 7y = -6.

22−7y=−622 - 7y = -6

De onde vem cada valor: 2222 = passo 4: 2 * 11 = 22 · −7y-7y = passo 4: -6y - y = -7y · −6-6 = passo 3: termo independente da equação 2x - y = -6

2(11−3y)−y=−6⇒22−7y=−62(11 - 3y) - y = -6 \Rightarrow 22 - 7y = -6
22−7y=−622 - 7y = \boxed{-6}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 2(11 - 3y) = 22 - 6y, não 22 - 3y.

Passo 6 — Achar o valor de y

A equação 22 - 7y = -6 tem apenas y, então resolvemos isolando y.

Por que esta fórmula: Subtraindo 22 dos dois lados: -7y = -28. Dividindo por -7: y = 4.

y=−28−7y = \frac{-28}{-7}

De onde vem cada valor: −28-28 = passo 5: 22 - 22 - 6 - 22 = -28 · −7-7 = passo 5: coeficiente de y

y=−28−7y = \frac{-28}{-7}
y=4y = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal na divisão: -28 / -7 = 4, não -4.

Passo 7 — Achar x e z

Com y = 4, voltamos às expressões dos passos 1 e 4 para encontrar x e z.

Por que esta fórmula: De x = 11 - 3y, com y = 4, temos x = 11 - 12 = -1. De z = 2y - 5, com y = 4, temos z = 8 - 5 = 3.

x=11−3⋅4,z=2⋅4−5x = 11 - 3 \cdot 4, \quad z = 2 \cdot 4 - 5

De onde vem cada valor: 1111 = passo 4 · 33 = passo 4 · 44 = passo 6 · 22 = passo 1 · 55 = passo 1

x=11−12=−1,z=8−5=3x = 11 - 12 = -1, \quad z = 8 - 5 = 3

x = -1, z = 3

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de voltar para achar z, ou errar o sinal de x.

Passo 8 — Calcular a soma dos quadrados

A questão pede x² + y² + z², então agora que temos os três valores, basta elevar ao quadrado e somar.

Por que esta fórmula: x² + y² + z² = (-1)² + 4² + 3² = 1 + 16 + 9 = 26.

x2+y2+z2x^{2} + y^{2} + z^{2}

De onde vem cada valor: xx = passo 7: -1 · yy = passo 6: 4 · zz = passo 7: 3

(−1)2+42+32=1+16+9=26(-1)^{2} + 4^{2} + 3^{2} = 1 + 16 + 9 = \boxed{26}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que (-1)² = 1, não -1.

Resposta: x² + y² + z² = 26 — alternativa C

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