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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu219017
Banca
VUNESP
Órgão
TJM SP
Ano
2025
Cargo
Ana BDJ ( )
Um depósito de munições possui a forma de um trapézio. Sua altura e sua base menor possuem a mesma medida X, e sua base maior supera sua base menor em 12 metros. A figura a seguir (fora de escala) representa esse depósito:   Foi solicitado a Mauro que calculasse a soma das medidas dos lados AB‾\overline{AB}, AD‾\overline{AD} e CD‾\overline{CD}, para posterior avaliação do custo de reinstalação de cerca elétrica no topo desses muros. Além das informações apresentadas, Mauro sabe que a área desse depósito mede 315 m2.   Com base nessas informações, Mauro concluiu corretamente que a soma das medidas dos lados AB, AD e CD é igual a quantos metros?Imagem associada para resolução da questão
  1. A54
  2. B57
  3. C51
  4. D48
  5. E60
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 57

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 57 m — alternativa B.

A ideia por trás

Um trapézio é um quadrilátero com um par de lados paralelos, chamados de bases. A base maior é o lado paralelo mais comprido, a base menor é o mais curto, e a altura é a distância perpendicular entre elas. A área de um trapézio é a média das bases multiplicada pela altura, pois ele pode ser decomposto em um retângulo e dois triângulos.

A fórmula da área é A = (B + b) · h / 2. Se você aumenta a base maior ou a altura, a área cresce proporcionalmente. Para achar lados não paralelos, quando o trapézio é retângulo, usa-se o Teorema de Pitágoras: a diferença entre as bases forma um cateto horizontal, a altura é o cateto vertical, e o lado inclinado é a hipotenusa.

Esta questão exige primeiro usar a área para descobrir o valor de X, depois identificar corretamente quais lados são AB, AD e CD na figura, e por fim calcular o lado inclinado com Pitágoras e somar.

O que a questão dá

  • área do trapézio = 315 m²

  • altura = base menor = X

  • base maior = X + 12 m

O que queremos: a soma das medidas dos lados AB, AD e CD

Passo 1 — Montar a equação da área

Temos a área e as bases em função de X, então substituímos na fórmula da área para achar X. É o ponto de partida porque sem X não temos nenhuma medida.

Por que esta fórmula: A área do trapézio é a média das bases vezes a altura. Aqui, base maior = X + 12, base menor = X, altura = X.

A=(B+b)⋅h2A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

De onde vem cada valor: AA = enunciado: 315 m² · BB = enunciado: X + 12 · bb = enunciado: X · hh = enunciado: X

315=(X+12+X)⋅X2315 = \frac{(X + 12 + X) \cdot X}{2}
315=X2+6X315 = \boxed{\text{X}^{2} + 6\text{X}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, o que daria 630 = 2X² + 12X e um X diferente.

Passo 2 — Resolver a equação do segundo grau

A equação anterior é do tipo X² + 6X - 315 = 0. Precisamos isolar X para conhecer as medidas reais.

Por que esta fórmula: É uma equação quadrática, então usamos Bhaskara: X = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

X=−b±b2−4ac2aX = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = constante: 1 (coeficiente de X²) · bb = constante: 6 (coeficiente de X) · cc = constante: -315 (termo independente)

X=−6±62−4⋅1⋅(−315)2⋅1=−6±36+12602X = \frac{-6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-315)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1260}}{2}
X=15m(raizpositiva)X = \boxed{15 m (raiz positiva)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que X é comprimento e considerar a raiz negativa, que daria -21 m.

Passo 3 — Calcular as bases e a altura

Com X = 15, temos todas as medidas do trapézio: base menor, base maior e altura.

Por que esta fórmula: Substituição direta: base menor = X, base maior = X + 12, altura = X.

b=X,B=X+12,h=Xb = X, \quad B = X + 12, \quad h = X

De onde vem cada valor: XX = passo 2: 15 m

b=15,B=15+12=27,h=15b = 15, \quad B = 15 + 12 = 27, \quad h = 15

base menor = 15 m, base maior = 27 m, altura = 15 m

NÃO CAIA NESSA!

Trocar as bases: achar que a base maior é 15 e a menor 27.

Passo 4 — Achar o lado inclinado com Pitágoras

O trapézio é retângulo, então o lado não perpendicular forma um triângulo retângulo com a altura e a diferença entre as bases.

Por que esta fórmula: A diferença entre as bases é o cateto horizontal, a altura é o cateto vertical, e o lado inclinado é a hipotenusa. Pitágoras: hipotenusa² = cateto² + cateto².

lado = √(h^2 + (B - b)^2)

De onde vem cada valor: hh = passo 3: 15 m · BB = passo 3: 27 m · bb = passo 3: 15 m

lado = √(15^2 + (27 - 15)^2 = √(225 + 144) = √(369))
ladoinclinado=3 √41m≈19,2mlado inclinado = \boxed{3\ √41 \text{m} ≈ 19,2 \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a base menor como cateto horizontal em vez da diferença entre as bases.

Passo 5 — Identificar os lados pedidos na figura

A soma pedida é AB + AD + CD. Precisamos saber quais lados são esses na figura, pois a nomenclatura pode confundir.

Por que esta fórmula: Na figura, os vértices estão em ordem: A (inferior esquerdo), B (inferior direito), C (superior direito), D (superior esquerdo). Então AB é a base maior, AD é o lado perpendicular, CD é a base menor.

AB = 27 m, AD = 15 m, CD = 15 m

NÃO CAIA NESSA!

Confundir AB com a base menor, o que levaria a uma soma que não está nas alternativas.

Passo 6 — Somar os três lados

Com os valores corretos, basta somar para obter a resposta.

Por que esta fórmula: Soma direta dos comprimentos.

S=AB+AD+CDS = AB + AD + CD

De onde vem cada valor: ABAB = passo 5: 27 m · ADAD = passo 5: 15 m · CDCD = passo 5: 15 m

S=27+15+15=57 mS = 27 + 15 + 15 = \boxed{57\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar o lado inclinado em vez de um dos lados perpendiculares, dando aproximadamente 49,2 m.

Resposta: 57 m — alternativa B

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