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Questão de Matemática — Progressão Aritmética — VUNESP 2025

MatemáticaProgressão Aritmética
Código
vu219018
Banca
VUNESP
Órgão
TJM SP
Ano
2025
Cargo
Ana BDJ ( )
Considere as seguintes sequências numéricas, formadas a partir de padrões matemáticos:   S1: (14; 11; 8; 5; …) S2: (–25; –18; –11; – 4; …)   Foram somados os elementos de S1 e de S2 que ocupam a posição n em cada uma dessas sequências, e obteve-se, como resultado, 365.   Então, o valor de n é
  1. A94.
  2. B93.
  3. C91.
  4. D95.
  5. E92.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 95.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a n = 95 — alternativa D.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante r (a razão) ao termo anterior. Por exemplo, em (14, 11, 8, 5, …) a razão é –3, pois cada termo é 3 unidades menor que o anterior. A razão pode ser positiva (sequência crescente), negativa (decrescente) ou zero (constante).

O termo geral de uma P.A. é a_n = a_1 + (n-1)·r, onde a_1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição. Essa fórmula permite calcular qualquer termo sem listar a sequência. Quando somamos os termos de mesma posição de duas P.A.s, o resultado também é uma P.A., cuja razão é a soma das razões originais e cujo primeiro termo é a soma dos primeiros termos. Isso acontece porque a soma de duas funções afins é outra função afim.

Esta questão pede para encontrar a posição n em que a soma dos termos de duas P.A.s é 365. Em vez de calcular os termos separadamente, podemos usar a propriedade de que a soma também é uma P.A. e aplicar a fórmula do termo geral diretamente.

O que a questão dá

  • S1: (14; 11; 8; 5; …)

  • S2: (–25; –18; –11; –4; …)

  • soma dos termos de mesma posição = 365

O que queremos: a posição n em que a soma dos termos de S1 e S2 vale 365

Passo 1 — Determinar a razão de cada sequência

Para usar a fórmula do termo geral, precisamos saber a razão de cada P.A. A razão é a diferença entre um termo e o anterior.

Por que esta fórmula: A razão r é calculada como r = a_2 - a_1, ou seja, a diferença entre o segundo e o primeiro termo.

r=a2−a1r = a_2 - a_1

De onde vem cada valor: a2a_2 = enunciado: segundo termo de cada sequência · a1a_1 = enunciado: primeiro termo de cada sequência

r1=11−14=−3;r2=−18−(−25)=7r_1 = 11 - 14 = -3; r_2 = -18 - (-25) = 7

r_1 = -3, r_2 = 7

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal da razão de S2: -18 - (-25) = 7, não -7.

Passo 2 — Montar a soma dos termos de mesma posição

Queremos a soma dos termos de posição n das duas sequências. Podemos escrever essa soma como uma nova sequência, que também é uma P.A.

Por que esta fórmula: A soma de duas P.A.s é uma P.A. com primeiro termo igual à soma dos primeiros termos e razão igual à soma das razões.

Sn=(a1+b1)+(n−1)(r1+r2)S_n = (a_1 + b_1) + (n-1)(r_1 + r_2)

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: 14 (primeiro termo de S1) · b1b_1 = enunciado: -25 (primeiro termo de S2) · r1r_1 = passo 1: -3 · r2r_2 = passo 1: 7

Sn=(14+(−25))+(n−1)(−3+7)=−11+4(n−1)S_n = (14 + (-25)) + (n-1)(-3 + 7) = -11 + 4(n-1)
Sn=−11 +4(n−1)S_n = \boxed{-11\ + 4(\text{n}-1)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as razões corretamente: -3 + 7 = 4, não -4.

Passo 3 — Igualar a soma a 365 e resolver para n

O enunciado diz que a soma dos termos de posição n é 365. Agora que temos a expressão da soma, basta igualá-la a 365 e isolar n.

Por que esta fórmula: É uma equação do primeiro grau: isolamos n para encontrar a posição.

−11+4(n−1)=365-11 + 4(n-1) = 365

De onde vem cada valor: −11-11 = passo 2: primeiro termo da soma · 44 = passo 2: razão da soma · 365365 = enunciado: soma desejada

−11+4(n−1)=365⇒4(n−1)=376⇒n−1=94⇒n=95-11 + 4(n-1) = 365 \Rightarrow 4(n-1) = 376 \Rightarrow n-1 = 94 \Rightarrow n = 95
n=95n = \boxed{95}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a conta: 365 + 11 = 376, não 372.

Resposta: n = 95 — alternativa D

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