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Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — VUNESP 2025

MatemáticaNúmero de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença
Código
vu219019
Banca
VUNESP
Órgão
TJM SP
Ano
2025
Cargo
Ana BDJ ( )
Em uma sala, todas as pessoas presentes falam pelo menos uma das três seguintes línguas estrangeiras: inglês, francês e espanhol. Sobre essas pessoas, sabe-se que o número das que falam • apenas inglês e espanhol é 2 unidades maior do que o número das que falam as três línguas;   • apenas francês é 4 vezes o número das que falam as três línguas;   • apenas inglês é 6 unidades maior do que o número das que falam apenas inglês e francês;   • espanhol, mas não falam inglês, é 9 vezes o número das que falam apenas inglês e francês.   Sabendo que o total de pessoas que falam inglês é 16 e que o total de pessoas que falam espanhol é 31, é correto concluir que o número total de pessoas nessa sala é igual a
  1. A48.
  2. B44.
  3. C47.
  4. D45.
  5. E46.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 47.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 47 pessoas — alternativa C.

A ideia por trás

Quando três conjuntos se cruzam, cada pessoa cai em exatamente uma das oito regiões do diagrama de Venn: as três que falam só uma língua, as três que falam exatamente duas, a que fala as três e a que não fala nenhuma. Somar todas essas regiões dá o total de pessoas, e cada informação do enunciado aponta para uma dessas regiões.

A soma das pessoas que falam uma língua (por exemplo, inglês) é a soma das quatro regiões que tocam o círculo do inglês: só inglês, inglês e francês, inglês e espanhol, e as três línguas. O mesmo vale para o espanhol. Essas somas viram equações que, junto com as relações entre as regiões, formam um sistema que revela o valor de cada região.

Esta questão dá relações entre as regiões e os totais de inglês e espanhol. O caminho é nomear a interseção tripla como x, traduzir cada frase em equação e resolver o sistema para achar todas as regiões.

O que a questão dá

  • apenas inglês e espanhol = 2 + (as três línguas)

  • apenas francês = 4 × (as três línguas)

  • apenas inglês = 6 + (apenas inglês e francês)

  • espanhol, mas não inglês = 9 × (apenas inglês e francês)

  • total que fala inglês = 16

  • total que fala espanhol = 31

O que queremos: o número total de pessoas na sala

Passo 1 — Nomear a interseção tripla

Todas as outras regiões são descritas em função de quem fala as três línguas, então esse é o ponto de partida natural. Chamar de x permite transformar as frases do enunciado em equações.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de definir x e tentar resolver sem uma variável central.

Passo 2 — Traduzir as relações em equações

Cada frase do enunciado descreve uma região do diagrama. Escrevê-las em função de x e de IF (apenas inglês e francês) é o que permite montar o sistema.

Por que esta fórmula: As expressões vêm diretamente da leitura: 'apenas inglês e espanhol é 2 unidades maior que as três' vira IE = x+2; 'apenas francês é 4 vezes as três' vira F = 4x; 'apenas inglês é 6 maior que apenas inglês e francês' vira I = IF+6; 'espanhol, mas não inglês, é 9 vezes apenas inglês e francês' vira E+EF = 9·IF.

IE=x+2,F=4x,I=IF+6,E+EF=9⋅IFIE = x+2, \quad F = 4x, \quad I = IF+6, \quad E+EF = 9\cdot IF

De onde vem cada valor: xx = passo 1 · IFIF = definição: apenas inglês e francês · IEIE = definição: apenas inglês e espanhol · FF = definição: apenas francês · II = definição: apenas inglês · E+EFE+EF = definição: espanhol sem inglês (apenas espanhol + espanhol e francês)

NÃO CAIA NESSA!

Confundir 'apenas inglês e espanhol' com a interseção total I∩E, que incluiria também quem fala as três línguas.

Passo 3 — Montar a equação do total de inglês

O total de quem fala inglês é dado (16) e é a soma das quatro regiões que tocam o círculo do inglês. Isso gera a primeira equação do sistema.

Por que esta fórmula: Quem fala inglês está em: apenas inglês (I), apenas inglês e francês (IF), apenas inglês e espanhol (IE) e as três línguas (x). Somando e substituindo as expressões do passo 2, obtemos uma equação com IF e x.

I+IF+IE+x=16I + IF + IE + x = 16

De onde vem cada valor: II = passo 2: IF+6 · IFIF = definição: apenas inglês e francês · IEIE = passo 2: x+2 · xx = passo 1

(IF+6)+IF+(x+2)+x=16(IF+6) + IF + (x+2) + x = 16
IF+x=4IF + x = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir a região das três línguas na soma do inglês.

Passo 4 — Montar a equação do total de espanhol

O total de quem fala espanhol também é dado (31) e é a soma das quatro regiões do círculo do espanhol. Isso gera a segunda equação do sistema.

Por que esta fórmula: Quem fala espanhol está em: apenas espanhol (E), apenas espanhol e francês (EF), apenas inglês e espanhol (IE) e as três línguas (x). A informação 'espanhol, mas não inglês' é E+EF = 9·IF, então substituímos.

E+EF+IE+x=31E + EF + IE + x = 31

De onde vem cada valor: E+EFE+EF = passo 2: 9·IF · IEIE = passo 2: x+2 · xx = passo 1

9⋅IF+(x+2)+x=319\cdot IF + (x+2) + x = 31
9⋅IF+2x=299\cdot IF + 2x = \boxed{29}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas E (sem EF) na soma, esquecendo que 'espanhol, mas não inglês' inclui quem também fala francês.

Passo 5 — Resolver o sistema para achar x

Com duas equações e duas incógnitas (IF e x), podemos isolar uma e substituir na outra. Isso revela o valor da interseção tripla, que é a chave para todas as outras regiões.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, IF = 4 - x. Substituindo na segunda, obtemos uma equação só com x, que resolvemos isolando x.

{IF+x=49⋅IF+2x=29\begin{cases} IF + x = 4 \\ 9\cdot IF + 2x = 29 \end{cases}

De onde vem cada valor: IF+x=4IF + x = 4 = passo 3 · 9⋅IF+2x=299 \cdot IF + 2x = 29 = passo 4

9(4−x)+2x=299(4-x) + 2x = 29
x=1x = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao substituir: 9(4-x) = 36 - 9x, não 36 + 9x.

Passo 6 — Calcular todas as regiões do diagrama

Com x = 1, voltamos às expressões do passo 2 para achar cada região. Isso é necessário para somar tudo no final.

Por que esta fórmula: Substituímos x = 1 nas relações: IF = 4 - x = 3, I = IF+6 = 9, IE = x+2 = 3, F = 4x = 4. Para E e EF, usamos E+EF = 9·IF = 27, mas ainda precisamos separar E e EF. Como o total de espanhol é 31 e já temos IE=3 e x=1, temos E+EF = 31 - 3 - 1 = 27, que confere. Para separar E e EF, precisamos de outra informação? Não, pois a soma E+EF já é suficiente para o total.

IF=4−x,I=IF+6,IE=x+2,F=4x,E+EF=9⋅IFIF = 4-x, \quad I = IF+6, \quad IE = x+2, \quad F = 4x, \quad E+EF = 9\cdot IF

De onde vem cada valor: xx = passo 5: 1 · IFIF = passo 5: 3 · II = passo 2: IF+6 · IEIE = passo 2: x+2 · FF = passo 2: 4x · E+EFE+EF = passo 2: 9·IF

IF=3,I=9,IE=3,F=4,E+EF=27IF = 3, \quad I = 9, \quad IE = 3, \quad F = 4, \quad E+EF = 27

IF=3, I=9, IE=3, F=4, E+EF=27

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de calcular F = 4x, que é necessário para o total.

Passo 7 — Somar todas as regiões

O total de pessoas na sala é a soma de todas as regiões do diagrama. Com todos os valores em mãos, basta somar.

Por que esta fórmula: O total é a soma das sete regiões não vazias (ninguém fala nenhuma língua, pois todos falam pelo menos uma).

Total=I+IF+IE+F+E+EF+xTotal = I + IF + IE + F + E + EF + x

De onde vem cada valor: II = passo 6: 9 · IFIF = passo 6: 3 · IEIE = passo 6: 3 · FF = passo 6: 4 · E+EFE+EF = passo 6: 27 · xx = passo 5: 1

Total=9+3+3+4+27+1=47Total = 9 + 3 + 3 + 4 + 27 + 1 = \boxed{47}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a região F (apenas francês) ou contar E e EF separadamente sem ter o valor individual.

Resposta: 47 pessoas — alternativa C

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