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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2025

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu219022
Banca
VUNESP
Órgão
TJM SP
Ano
2025
Cargo
TIJ ( )
Carlos vai dar uma festa. Em seu depósito, ele dispõe de 7,2 litros de refrigerante, 4,5 litros de suco de laranja e 3,6 litros de suco de uva. Um pouco antes de seus convidados chegarem, para agilizar a oferta das bebidas, ele as distribuirá em canecas, colocando em todas elas a mesma quantidade de líquido, independentemente do tipo de bebida, e sem misturar bebidas de tipos diferentes. Ele também resolveu que, depois de feita essa divisão, não poderá sobrar bebida nas garrafas originais e que a quantidade de bebida em cada taça deverá ser a maior possível.   O número de canecas que serão enchidas, de acordo com essas condições, é igual a
  1. A17.
  2. B11.
  3. C9.
  4. D13.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 17.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 17 canecas — alternativa A.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior valor que divide todos eles sem deixar resto. No mundo real, ele responde a perguntas do tipo: qual é o maior tamanho de pacote que cabe exatamente em várias quantidades diferentes? Aqui, as quantidades são volumes de bebida e o pacote é a caneca.

Para achar o MDC, fatoramos cada número em primos e pegamos os fatores comuns com o menor expoente. Por exemplo, se um número tem 2³ e outro tem 2², o MDC terá 2². Isso garante que o divisor seja o maior possível e que divida todos os números. A condição de validade é que os números estejam na mesma unidade — por isso convertemos tudo para mililitros antes.

Esta questão pede o maior volume de caneca que divide exatamente 7,2 L, 4,5 L e 3,6 L — exatamente o MDC desses volumes. Depois de achar esse volume, contamos quantas canecas cada bebida rende e somamos.

O que a questão dá

  • volume de refrigerante = 7,2 L

  • volume de suco de laranja = 4,5 L

  • volume de suco de uva = 3,6 L

O que queremos: o número total de canecas, cada uma com a maior capacidade possível que divida exatamente os três volumes

Passo 1 — Converter os volumes para mililitros

Os volumes estão em litros com uma casa decimal, o que dificulta a fatoração. Passando para mililitros, trabalhamos com números inteiros, e o MDC fica mais fácil de calcular. A conversão é necessária porque o MDC exige números inteiros na mesma unidade.

Por que esta fórmula: 1 L = 1000 mL, então multiplicamos cada volume por 1000.

VmL=VL×1000V_{mL} = V_{L} \times 1000

De onde vem cada valor: VLV_{L} = enunciado: 7,2 L, 4,5 L e 3,6 L · 10001000 = constante: 1 L = 1000 mL

7,2×1000=7200,4,5×1000=4500,3,6×1000=36007{,}2 \times 1000 = 7200,\quad 4{,}5 \times 1000 = 4500,\quad 3{,}6 \times 1000 = 3600

VmLV_{mL} = 7200 mL, 4500 mL, 3600 mL

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e tentar fatorar 7,2 — números decimais não entram na fatoração em primos.

Passo 2 — Fatorar cada volume em primos

Para achar o MDC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Isso revela quais fatores são comuns e com qual menor expoente.

Por que esta fórmula: A fatoração é a base do cálculo do MDC: escrevemos cada número como produto de primos.

7200=25×32×52,4500=22×32×53,3600=24×32×527200 = 2^{5} \times 3^{2} \times 5^{2},\quad 4500 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{3},\quad 3600 = 2^{4} \times 3^{2} \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 72007200 = passo 1 · 45004500 = passo 1 · 36003600 = passo 1

7200=25⋅32⋅52,4500=22⋅32⋅53,3600=24⋅32⋅527200 = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2},\quad 4500 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3},\quad 3600 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

72007200 = fatorações prontas

NÃO CAIA NESSA!

Errar a fatoração, por exemplo, esquecer que 100 = 2² × 5².

Passo 3 — Calcular o MDC pegando os menores expoentes

O MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente. Isso garante que o número resultante divida todos os volumes e seja o maior possível.

Por que esta fórmula: Para cada primo que aparece em todas as fatorações, escolhemos o menor expoente. Aqui, 2 aparece com expoentes 5, 2 e 4 → menor é 2; 3 aparece com expoente 2 em todos → 2; 5 aparece com expoentes 2, 3 e 2 → menor é 2.

MDC=22×32×52MDC = 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 2: menor expoente do 2 · 323^{2} = passo 2: expoente comum do 3 · 525^{2} = passo 2: menor expoente do 5

MDC=4×9×25=900=900 mLMDC = 4 \times 9 \times 25 = 900 = \boxed{900\ \text{mL}}
NÃO CAIA NESSA!

Pegar o maior expoente em vez do menor — isso daria o MMC, não o MDC.

Passo 4 — Dividir cada volume pelo MDC

Agora que sabemos que cada caneca terá 900 mL, calculamos quantas canecas cada bebida rende, dividindo o volume total pelo volume da caneca.

Por que esta fórmula: Número de canecas = volume total ÷ volume por caneca. Como o MDC divide exatamente, não sobra nada.

nbebida=VbebidaMDCn_{bebida} = \frac{V_{bebida}}{MDC}

De onde vem cada valor: VbebidaV_{bebida} = passo 1: 7200, 4500, 3600 mL · MDCMDC = passo 3: 900 mL

nrefri=7200900=8,nlaranja=4500900=5,nuva=3600900=4=8 ,5e4canecasn_{refri} = \frac{7200}{900} = 8,\quad n_{laranja} = \frac{4500}{900} = 5,\quad n_{uva} = \frac{3600}{900} = 4 = \boxed{8\ , 5 \text{e} 4 \text{canecas}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir na ordem errada ou usar o volume em litros (7,2 ÷ 0,9 = 8, mas 4,5 ÷ 0,9 = 5, 3,6 ÷ 0,9 = 4 — dá o mesmo, mas com decimais é mais fácil errar).

Passo 5 — Somar as canecas de cada bebida

O total de canecas é a soma das canecas de cada tipo, pois cada caneca contém apenas um tipo de bebida.

Por que esta fórmula: Total = n_refri + n_laranja + n_uva.

Total=nrefri+nlaranja+nuvaTotal = n_{refri} + n_{laranja} + n_{uva}

De onde vem cada valor: nrefrin_{refri} = passo 4: 8 · nlaranjan_{laranja} = passo 4: 5 · nuvan_{uva} = passo 4: 4

Total=8+5+4=17=17 canecasTotal = 8 + 5 + 4 = 17 = \boxed{17\ \text{canecas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e responder apenas o número de canecas de um tipo.

Resposta: 17 canecas — alternativa A

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