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Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2025

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu219025
Banca
VUNESP
Órgão
TJM SP
Ano
2025
Cargo
TIJ ( )
Como parte do processo de localização de um objeto por meio de triangulação, foram calculadas por um técnico, primeiramente, as soluções x1 e x2 da seguinte equação do 2º grau:   x^2-6x+5=0   Obtidos esses valores x1 e x2 (onde x1 < x2), foram, em seguida, a partir deles, calculados pelo técnico os valores y1 e y2 por meio das seguintes expressões:y1=3⋅x1+14 e y2=3⋅x2+14y_1 = \frac{3\cdot x_1 + 1}{4} e y_2 = \frac{3\cdot x_2 + 1}{4}   Feitos corretamente todos esses cálculos, os valores de x1, y1, x2 e y , obtidos pelo técnico serão, respectivamente, iguais a
  1. A1, 1, 4, 5.
  2. B-6,5,4,5.
  3. C-6,5,5,4.
  4. D−6,−174,5,4.-6,\frac{-17}{4},5,4.
  5. E1,1,5,4.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 1,1,5,4.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a x1 = 1, y1 = 1, x2 = 5, y2 = 4 — alternativa E.

A ideia por trás

Uma equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0 e suas soluções são os valores de x que a tornam verdadeira. Elas podem ser encontradas por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara, que usa o discriminante Δ = b² - 4ac para decidir quantas raízes reais existem.

A fórmula de Bhaskara é x = (-b ± √Δ)/(2a). O sinal ± gera duas raízes: uma com o sinal de mais e outra com o de menos. Se Δ > 0, há duas raízes distintas; se Δ = 0, uma única raiz; se Δ < 0, nenhuma raiz real. Depois de achar as raízes, podemos substituí-las em outras expressões para obter novos valores.

Esta questão pede primeiro as raízes da equação e depois aplica cada uma em uma expressão linear para obter y1 e y2. O cuidado está na ordem final: o enunciado quer x1, y1, x2, y2, não x1, x2, y1, y2.

O que a questão dá

  • equação: x² - 6x + 5 = 0

  • x1 < x2

  • y1 = (3·x1 + 1)/4

  • y2 = (3·x2 + 1)/4

O que queremos: os valores de x1, y1, x2 e y2, nessa ordem

Passo 1 — Calcular o discriminante da equação

Antes de achar as raízes, precisamos saber se elas existem e quantas são. O discriminante Δ = b² - 4ac resume isso: se for positivo, há duas raízes reais distintas, que é o nosso caso.

Por que esta fórmula: É a fórmula do discriminante, que aparece dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara. Ela mede a 'distância' entre as duas raízes.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = enunciado: coeficiente de x, -6 · aa = enunciado: coeficiente de x², 1 · cc = enunciado: termo independente, 5

Δ=(−6)2−4⋅1⋅5=16\Delta = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = \boxed{16}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de b: usar 6 em vez de -6, o que daria 36 - 20 = 16 também, mas em outros casos pode errar o sinal.

Passo 2 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante em mãos, podemos calcular as duas raízes. A fórmula de Bhaskara usa Δ para gerar os dois valores de x.

Por que esta fórmula: É a fórmula resolutiva da equação do segundo grau. O sinal ± indica que faremos duas contas: uma com soma e outra com subtração.

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = enunciado: -6 · Δ\Delta = passo 1: 16 · aa = enunciado: 1

x=−(−6)±162⋅1x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

x1 = 1 e x2 = 5

NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem: como x1 < x2, x1 é 1 e x2 é 5, não o contrário.

Passo 3 — Calcular y1 substituindo x1

Agora que temos as raízes, aplicamos cada uma na expressão dada para obter os valores de y. Começamos com x1 = 1.

Por que esta fórmula: A expressão y1 = (3·x1 + 1)/4 é dada no enunciado; basta substituir x1 pelo valor encontrado.

y1=3⋅x1+14y_1 = \frac{3 \cdot x_1 + 1}{4}

De onde vem cada valor: x1x_1 = passo 2: 1

y1=3⋅1+14=1y_1 = \frac{3 \cdot 1 + 1}{4} = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem das operações: fazer 3·1 = 3, depois somar 1, e só então dividir por 4.

Passo 4 — Calcular y2 substituindo x2

Falta o segundo valor de y, usando a outra raiz x2 = 5.

Por que esta fórmula: Mesma expressão, agora com x2.

y2=3⋅x2+14y_2 = \frac{3 \cdot x_2 + 1}{4}

De onde vem cada valor: x2x_2 = passo 2: 5

y2=3⋅5+14=4y_2 = \frac{3 \cdot 5 + 1}{4} = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Usar x1 em vez de x2, ou errar a conta 3·5 = 15, depois +1 = 16, dividido por 4 = 4.

Resposta: x1 = 1, y1 = 1, x2 = 5, y2 = 4 — alternativa E

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