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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu219026
Banca
VUNESP
Órgão
TJM SP
Ano
2025
Cargo
TIJ ( )
O terreno de um estacionamento possui a forma de um trapézio, com bases medindo 40 m e 60 m, respectivamente, conforme representado na figura a seguir: (Figura fora de escala)   Nesse estacionamento, há 120 vagas no total, sendo que todas as vagas são retangulares, com 5 m de comprimento e 2,5 m de largura. A área não utilizada desse estacionamento (ou seja, a área do terreno correspondente às regiões que não são ocupadas pelas vagas) é de 1 000 m².   Com base nessas informações, é possível calcular a medida h indicada na figura. A partir disso, através do Teorema de Pitágoras e valendo-se da aproximação 29\sqrt{29} = 5,4, calcula-se a medida do lado BC‾\overline{BC}.   Com isso, obtém-se para o perímetro do trapézio ABCD a medida deImagem associada para resolução da questão
  1. A200 m.
  2. B212 m.
  3. C208 m.
  4. D216 m.
  5. E204 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 204 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 204 m — alternativa E.

A ideia por trás

Um trapézio é um quadrilátero com um par de lados paralelos, chamados de bases. A área de um trapézio é a média das bases multiplicada pela altura: A = (B + b) · h / 2. O perímetro é a soma de todos os lados.

A área do trapézio depende da altura h, que é a distância entre as bases. Para achar h, usamos a área total do terreno, que é a soma da área ocupada pelas vagas com a área não utilizada. Depois, para achar o lado inclinado, usamos o Teorema de Pitágoras, que relaciona os catetos de um triângulo retângulo com a hipotenusa: a² + b² = c².

Esta questão pede o perímetro, então precisamos achar todos os lados. Primeiro calculamos a área total para achar h, depois usamos a diferença entre as bases e o Teorema de Pitágoras para achar o lado inclinado.

O que a questão dá

  • base maior = 60 m

  • base menor = 40 m

  • número de vagas = 120

  • dimensões de cada vaga = 5 m × 2,5 m

  • área não utilizada = 1000 m²

  • aproximação √29 = 5,4

O que queremos: o perímetro do trapézio ABCD

Passo 1 — Calcular a área ocupada pelas vagas

A área total do terreno é a soma da área das vagas com a área não utilizada. Para saber a área total, primeiro precisamos saber quanto espaço as vagas ocupam.

Por que esta fórmula: Cada vaga é um retângulo, e a área de um retângulo é comprimento vezes largura. Com 120 vagas, multiplicamos a área de uma vaga pelo número de vagas.

Avagas=120×(5×2,5)A_{vagas} = 120 \times (5 \times 2{,}5)

De onde vem cada valor: 120120 = enunciado: 120 vagas · 55 = enunciado: comprimento da vaga = 5 m · 2,52{,}5 = enunciado: largura da vaga = 2,5 m

Avagas=120×12,5=1500 m2A_{vagas} = 120 \times 12{,}5 = \boxed{1500\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pela largura e usar 5 m² por vaga

Passo 2 — Calcular a área total do terreno

A área total do trapézio é a soma da área ocupada pelas vagas com a área não utilizada. Isso é necessário para depois achar a altura h.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das duas partes: vagas + área livre.

Atotal=Avagas+AlivreA_{total} = A_{vagas} + A_{livre}

De onde vem cada valor: AvagasA_{vagas} = passo 1: 1500 m² · AlivreA_{livre} = enunciado: 1000 m²

Atotal=1500+1000=2500 m2A_{total} = 1500 + 1000 = \boxed{2500\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair em vez de somar

Passo 3 — Achar a altura h do trapézio

Com a área total, podemos usar a fórmula da área do trapézio para encontrar a altura h, que é a distância entre as bases.

Por que esta fórmula: A área de um trapézio é a média das bases vezes a altura: A = (B + b) · h / 2. Isolamos h.

h=2⋅AtotalB+bh = \frac{2 \cdot A_{total}}{B + b}

De onde vem cada valor: AtotalA_{total} = passo 2: 2500 m² · BB = enunciado: base maior = 60 m · bb = enunciado: base menor = 40 m

h=2×250060+40=50 mh = \frac{2 \times 2500}{60 + 40} = \boxed{50\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 na fórmula

Passo 4 — Calcular a projeção horizontal do lado BC

Para achar o lado inclinado BC, precisamos saber quanto ele se projeta horizontalmente. A diferença entre as bases é 20 m, e como o trapézio é retângulo (um lado é vertical), toda essa diferença está no lado inclinado.

Por que esta fórmula: A projeção horizontal é a diferença entre as bases, pois o outro lado é vertical.

x=B−bx = B - b

De onde vem cada valor: BB = enunciado: 60 m · bb = enunciado: 40 m

x=60−40=20 mx = 60 - 40 = \boxed{20\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir a diferença por 2, assumindo trapézio isósceles

Passo 5 — Achar o lado BC pelo Teorema de Pitágoras

O lado BC é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pela altura h e pela projeção horizontal x. O Teorema de Pitágoras relaciona esses lados.

Por que esta fórmula: Em um triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos: BC² = x² + h².

BC = √(x^2 + h^2)

De onde vem cada valor: xx = passo 4: 20 m · hh = passo 3: 50 m

BC = sqrt20^2 + 50^2 = 54\ m
NÃO CAIA NESSA!

Usar 10 m como projeção, achando que o trapézio é isósceles

Passo 6 — Calcular o perímetro do trapézio

O perímetro é a soma de todos os lados. Já temos as bases e o lado BC; falta o lado AD, que é vertical e mede a altura h.

Por que esta fórmula: Perímetro é a soma dos quatro lados: AB + BC + CD + DA.

P=AB+BC+CD+DAP = AB + BC + CD + DA

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: base maior = 60 m · BCBC = passo 5: 54 m · CDCD = enunciado: base menor = 40 m · DADA = passo 3: altura = 50 m

P=60+54+40+50=204 mP = 60 + 54 + 40 + 50 = \boxed{204\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o lado vertical AD

Resposta: 204 m — alternativa E

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