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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2025

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu219027
Banca
VUNESP
Órgão
TJM SP
Ano
2025
Cargo
TIJ ( )

Um dado de 12 faces, numeradas de 1 a 12, foi lançado duas vezes e foram somados os dois números obtidos, tendo-se 18 como resultado dessa soma. Sobre esses lançamentos, sabe-se que:

 

I. nenhum dos números obtidos é primo;

 

II. nenhum dos números obtidos é quadrado perfeito;

 

III. o maior divisor comum entre os dois números obtidos é maior do que 2.

 

Com base nessas informações, é correto concluir que, se em vez da soma, fosse feito o produto dos dois números obtidos, o resultado seria

  1. A77.
  2. B70.
  3. C72.
  4. D80.
  5. E81.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 72.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 72 — alternativa C.

A ideia por trás

Números primos são os que só têm dois divisores: o 1 e ele mesmo (2, 3, 5, 7, 11...). Quadrado perfeito é o resultado de um número natural multiplicado por ele mesmo (1, 4, 9, 16...). O máximo divisor comum (MDC) de dois números é o maior número que divide os dois ao mesmo tempo — por exemplo, o MDC de 8 e 12 é 4, porque 4 é o maior divisor comum a ambos.

Para resolver, precisamos combinar essas definições: primeiro listamos todos os pares possíveis que somam 18, depois eliminamos os que contêm primos ou quadrados perfeitos, e por fim verificamos o MDC. A condição do MDC ser maior que 2 é a mais restritiva, pois elimina pares como (8, 10), cujo MDC é 2.

Esta questão exige aplicar as três definições em sequência para filtrar os pares de números do dado. O passo crucial é listar os pares que somam 18 e depois testar cada condição.

O que a questão dá

  • dado de 12 faces, numeradas de 1 a 12

  • soma dos dois números = 18

  • nenhum dos números é primo

  • nenhum dos números é quadrado perfeito

  • MDC entre os dois números > 2

O que queremos: o produto dos dois números obtidos

Passo 1 — Listar os pares que somam 18

Precisamos saber quais combinações de números do dado podem ter ocorrido. Como o dado vai de 1 a 12, listamos todos os pares (a, b) com a ≤ b e a + b = 18.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma enumeração sistemática: para cada a de 1 a 12, calculamos b = 18 - a e verificamos se b está entre 1 e 12.

(6,12),(7,11),(8,10),(9,9)\boxed{(6,12), (7,11), (8,10), (9,9)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o par (9,9) ou incluir pares com números fora do intervalo, como (5,13).

Passo 2 — Eliminar pares com números primos

A condição I diz que nenhum número pode ser primo. Precisamos identificar quais números de 1 a 12 são primos e descartar os pares que os contenham.

Por que esta fórmula: Números primos entre 1 e 12: 2, 3, 5, 7, 11. O par (7,11) contém dois primos, então é eliminado. Os outros pares não têm primos.

Restam(6,12),(8,10),(9,9)\boxed{\text{Restam} (6,12), (8,10), (9,9)}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 1 é primo — não é, pois só tem um divisor.

Passo 3 — Eliminar pares com quadrados perfeitos

A condição II proíbe quadrados perfeitos. Entre 1 e 12, os quadrados perfeitos são 1, 4 e 9. O par (9,9) contém 9, então é eliminado.

Por que esta fórmula: Quadrado perfeito é um número que é o quadrado de um inteiro: 1=1², 4=2², 9=3². Nenhum outro número de 1 a 12 é quadrado perfeito.

Restam(6,12)e(8,10)\boxed{\text{Restam} (6,12) \text{e} (8,10)}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 6 como quadrado perfeito — não é, pois não existe inteiro cujo quadrado seja 6.

Passo 4 — Calcular o MDC dos pares restantes

A condição III exige MDC > 2. Precisamos calcular o MDC de (6,12) e (8,10) para ver qual satisfaz.

Por que esta fórmula: MDC é o maior divisor comum. Para (6,12), os divisores de 6 são 1,2,3,6 e os de 12 são 1,2,3,4,6,12; o maior comum é 6. Para (8,10), divisores de 8: 1,2,4,8; de 10: 1,2,5,10; o maior comum é 2.

MDC(6,12)=6, MDC(8,10)=2

NÃO CAIA NESSA!

Calcular MDC errado, por exemplo, achar que MDC(8,10)=4.

Passo 5 — Escolher o par com MDC maior que 2

A condição III elimina (8,10) porque seu MDC é 2, que não é maior que 2. Portanto, o único par válido é (6,12).

Por que esta fórmula: A condição é MDC > 2, então MDC=2 não passa. (6,12) tem MDC=6, que é maior que 2.

Parvaˊlido:(6,12)\boxed{\text{Par} \text{v}á\text{lido}: (6,12)}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar MDC=2 como válido, esquecendo que a condição é 'maior que 2'.

Passo 6 — Calcular o produto dos números

A pergunta pede o produto dos dois números obtidos. Com o par (6,12) identificado, basta multiplicar.

Por que esta fórmula: Produto é a multiplicação dos dois números.

P=a×bP = a \times b

De onde vem cada valor: aa = passo 5: 6 · bb = passo 5: 12

P=6×12=72P = 6 \times 12 = \boxed{72}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de multiplicar, obtendo 18.

Resposta: 72 — alternativa C

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