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Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — VUNESP 2025

MatemáticaNúmero de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença
Código
vu219028
Banca
VUNESP
Órgão
TJM SP
Ano
2025
Cargo
TIJ ( )
Uma escola de esportes oferece apenas três cursos: futebol, judô e natação. Seus alunos podem se matricular em um, em dois ou nos três cursos. Atualmente, o total de alunos da escola é 28, dos quais 15 praticam futebol, 10 praticam judô e 5 praticam esses dois esportes. Além disso, sabe-se que são 8 os alunos que praticam natação e não praticam judô. A partir dessas informações, é correto concluir que o número de alunos que praticam futebol e natação, mas não praticam judô, é igual a
  1. A2.
  2. B0.
  3. C1.
  4. D3.
  5. E4.
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GabaritoB — 0.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 0 alunos — alternativa B.

A ideia por trás

Quando uma escola oferece três cursos e cada aluno pode estar em um, dois ou três, estamos diante de três conjuntos que se sobrepõem. O diagrama de Venn é a ferramenta que organiza essas sobreposições: cada região representa um grupo exato de alunos, e somar todas as regiões dá o total de alunos da escola.

O princípio da inclusão-exclusão diz que, para contar o total de elementos da união de três conjuntos, somamos os tamanhos de cada conjunto, subtraímos as interseções dois a dois (porque foram contadas duas vezes) e somamos a interseção tripla (porque foi subtraída demais). Essa relação permite descobrir uma interseção desconhecida quando conhecemos o total e as outras partes.

Esta questão fornece o total e algumas interseções, mas não a interseção entre futebol e natação. Aplicar o princípio da inclusão-exclusão e usar a informação sobre natação sem judô vai revelar que essa interseção coincide com a interseção tripla, o que leva à resposta.

O que a questão dá

  • total de alunos = 28

  • praticam futebol = 15

  • praticam judô = 10

  • praticam futebol e judô = 5

  • praticam natação e não judô = 8

O que queremos: o número de alunos que praticam futebol e natação, mas não judô

Passo 1 — Montar as equações das regiões do diagrama

Para trabalhar com conjuntos sobrepostos, o primeiro passo é dar nome a cada região do diagrama de Venn. Assim, cada informação do enunciado vira uma equação, e o que queremos vira uma incógnita.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é a definição das regiões: a = só futebol, b = só judô, c = só natação, d = futebol e judô (sem natação), e = futebol e natação (sem judô) — que é o que procuramos, f = judô e natação (sem futebol), g = os três. Cada aluno cai em exatamente uma região.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir as regiões: por exemplo, achar que 'futebol e judô' inclui quem também faz natação. No diagrama, d é só futebol e judô, e g é os três.

Passo 2 — Traduzir os dados do enunciado em equações

Cada frase do problema corresponde a uma soma de regiões. Escrever essas equações é o que liga os números às incógnitas.

Por que esta fórmula: A soma das regiões que compõem um conjunto é o tamanho desse conjunto. Por exemplo, quem pratica futebol está em a, d, e ou g, então a + d + e + g = 15.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir a interseção tripla g nas contas de cada esporte — ela pertence a todos os três conjuntos.

Passo 3 — Aplicar o princípio da inclusão-exclusão

Temos o total de alunos e os tamanhos de cada conjunto, mas falta a interseção entre futebol e natação. O princípio da inclusão-exclusão relaciona todas essas quantidades e permite isolar essa interseção.

Por que esta fórmula: Para três conjuntos, o total da união é a soma dos três, menos as três interseções duplas, mais a interseção tripla. Como todos os alunos praticam pelo menos um esporte, a união é o total de 28.

n(F∪J∪N)=n(F)+n(J)+n(N)−n(F∩J)−n(F∩N)−n(J∩N)+n(F∩J∩N)n(F \cup J \cup N) = n(F) + n(J) + n(N) - n(F \cap J) - n(F \cap N) - n(J \cap N) + n(F \cap J \cap N)

De onde vem cada valor: n(F∪J∪N)n(F \cup J \cup N) = enunciado: total de alunos = 28 · n(F)n(F) = enunciado: 15 · n(J)n(J) = enunciado: 10 · n(F∩J)n(F \cap J) = enunciado: 5 · n(F∩J∩N)n(F \cap J \cap N) = definição: passo 1, região g

28=15+10+n(N)−5−n(F∩N)−n(J∩N)+g28 = 15 + 10 + n(N) - 5 - n(F \cap N) - n(J \cap N) + g
n(N)−n(F∩N)−n(J∩N)+g=8n(N) - n(F \cap N) - n(J \cap N) + g = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a interseção tripla g — sem ela a conta fica com sinal trocado.

Passo 4 — Usar a informação sobre natação sem judô

O enunciado diz que 8 alunos fazem natação e não judô. Isso é exatamente a soma das regiões c (só natação) e e (futebol e natação, sem judô). Essa equação vai se combinar com a anterior.

Por que esta fórmula: Quem faz natação e não judô está fora do círculo J, então são as regiões c e e. Em termos de conjuntos, isso é n(N) - n(J ∩ N), pois subtraímos de N quem também está em J.

n(N)−n(J∩N)=8n(N) - n(J \cap N) = 8

De onde vem cada valor: n(N)n(N) = definição: tamanho do conjunto natação (não dado diretamente) · n(J∩N)n(J \cap N) = definição: interseção entre judô e natação (não dada diretamente) · 88 = enunciado: 8 praticam natação e não judô

n(N)−n(J∩N)=8=8n(N) - n(J \cap N) = 8 = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 'natação e não judô' é só a região c, esquecendo que quem faz futebol e natação também não faz judô.

Passo 5 — Substituir e descobrir a relação entre as interseções

A equação do passo 3 tem n(N) - n(J ∩ N) como parte dela. Como sabemos que isso vale 8, podemos substituir e simplificar para achar uma relação entre n(F ∩ N) e g.

Por que esta fórmula: Na equação do passo 3, o termo n(N) - n(J ∩ N) aparece junto com -n(F ∩ N) + g. Substituindo o valor 8, a equação se reduz a uma igualdade simples.

8−n(F∩N)+g=88 - n(F \cap N) + g = 8

De onde vem cada valor: 88 = passo 4: n(N) - n(J ∩ N) = 8 · n(F∩N)n(F \cap N) = definição: interseção entre futebol e natação (incógnita) · gg = passo 1: região dos três esportes

8−n(F∩N)+g=88 - n(F \cap N) + g = 8
n(F∩N)=gn(F \cap N) = \boxed{\text{g}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar os termos para o outro lado — cuidado com a subtração.

Passo 6 — Concluir que a interseção pedida é zero

A relação n(F ∩ N) = g diz que todo aluno que faz futebol e natação também faz judô. Em termos de regiões, isso significa que a região e (futebol e natação sem judô) está vazia.

Por que esta fórmula: A interseção F ∩ N é composta pelas regiões e (sem judô) e g (com judô). Se n(F ∩ N) = g, então e = 0.

n(F∩N)=e+gn(F \cap N) = e + g

De onde vem cada valor: n(F∩N)n(F \cap N) = passo 5: igual a g · ee = passo 1: região futebol e natação sem judô (o que queremos) · gg = passo 1: região dos três esportes

g=e+gg = e + g
e=0e = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Interpretar n(F ∩ N) = g como se e pudesse ser diferente de zero — mas a igualdade só vale se e for zero.

Resposta: 0 alunos — alternativa B

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