Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219029

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 28,26 m² — alternativa D.

A ideia por trás

Um hexágono regular é um polígono de seis lados iguais e seis ângulos internos iguais. Ele pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros com vértice no centro. O apótema é a distância do centro ao ponto médio de qualquer lado — é também o raio da circunferência inscrita no hexágono. Para um hexágono regular de lado ℓ, o apótema é dado por a = ℓ√3/2, fórmula que vem do triângulo retângulo formado pelo raio da circunferência circunscrita (que, no hexágono, é igual ao lado), o apótema e metade do lado.

A área de um círculo é A = πr², onde r é o raio. Ela cresce com o quadrado do raio: dobrar o raio quadruplica a área. No problema, o tapete está centralizado na sala, então a distância do centro até a parede é o apótema a. A condição diz que a distância entre a borda do tapete e a parede é igual ao raio r do tapete. Como essa distância é a diferença entre o apótema e o raio, temos a - r = r, ou seja, a = 2r. Isso vale para qualquer polígono regular com um círculo inscrito tangente aos lados.

Esta questão cobra a interpretação geométrica da frase 'a menor distância entre o ponto médio de cada parede e a borda do tapete é igual ao raio'. É preciso perceber que essa distância é a diferença entre o apótema e o raio, e não o próprio raio. A partir daí, calcula-se o apótema, depois o raio e finalmente a área.

O que a questão dá

lado do hexágono = 4√3 m
π = 3,14

O que queremos: a área do tapete circular centralizado na sala hexagonal

Passo 1 — Calcular o apótema do hexágono

O apótema é a distância do centro da sala até o ponto médio de cada parede. Como o tapete é centralizado, essa distância é a soma do raio do tapete com a distância entre a borda do tapete e a parede. Precisamos dela para relacionar com o raio.

Por que esta fórmula: Para um hexágono regular, o apótema é dado por a = ℓ√3/2. Essa fórmula vem do triângulo retângulo formado pelo raio da circunferência circunscrita (que é igual ao lado), o apótema e metade do lado.

a = \frac{\ell \sqrt{3}}{2}

De onde vem cada valor: $\ell$ = enunciado: 4√3 m

a = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \boxed{6\ \text{m}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar √3 por √3, achando que dá √3 em vez de 3.

Passo 2 — Relacionar o raio do tapete com o apótema

A condição do enunciado diz que a distância entre a parede e a borda do tapete é igual ao raio do tapete. Essa distância é a diferença entre o apótema e o raio, então montamos a equação.

Por que esta fórmula: Do centro até a parede temos o apótema a. Essa distância é composta pelo raio do tapete r mais a distância entre a borda do tapete e a parede, que também é r. Portanto, a = r + r = 2r.

a = 2r

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1: 6 m

6 = 2r

r = \boxed{3\ \text{m}}

NÃO CAIA NESSA!

Pensar que o raio é o próprio apótema, ignorando a distância entre a borda e a parede.

Passo 3 — Calcular a área do tapete

Com o raio do tapete em mãos, a área é direta pela fórmula do círculo.

Por que esta fórmula: A área de um círculo é A = πr². É a fórmula que relaciona a superfície ocupada pelo tapete com seu raio.

A = \pi r^{2}

De onde vem cada valor: $\pi$ = enunciado: 3,14 · $r$ = passo 2: 3 m

A = 3{,}14 \times 3^{2} = \boxed{28{,}26\ \text{m}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar r = 6 m (o apótema) em vez de r = 3 m, obtendo 113,04 m², que não está nas alternativas.

Resposta: 28,26 m² — alternativa D

Questão de Matemática — Polígonos Regulares (Medida do Lado, Diagonal, Apótema e Área; Ângulo Interno) — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular o apótema do hexágono

Passo 2 — Relacionar o raio do tapete com o apótema

Passo 3 — Calcular a área do tapete