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Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2025

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
vu219030
Banca
VUNESP
Órgão
CM Praia Grande (SP)
Ano
2025
Cargo
Tec Aud (CM Praia Grande)
Em determinado momento, o número de visitantes de um museu era 99, e a razão entre visitantes homens e visitantes mulheres era { \large 4 \over 7}. Antes que qualquer um deles saísse, chegaram no museu 9 homens e algumas mulheres, de modo que a razão entre visitantes homens e visitantes mulheres passou a ser { \large 5 \over 8}.   Com a chegada de todos esses novos visitantes, o número total de visitantes do museu passou a ser igual a
  1. A102.
  2. B113.
  3. C117.
  4. D120.
  5. E121.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 117.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 117 visitantes — alternativa C.

A ideia por trás

Razão é uma divisão entre duas grandezas: dizer que a razão entre homens e mulheres é 4/7 significa que, para cada 4 homens, há 7 mulheres. Isso não informa quantas pessoas existem, apenas a proporção entre os grupos. Para transformar uma razão em números absolutos, usamos uma constante de proporcionalidade: se o total é 99 e a razão é 4/7, o total de 'partes' é 4 + 7 = 11, e cada parte vale 99 ÷ 11 = 9.

A propriedade fundamental das proporções diz que, se a razão entre duas quantidades é a/b, então essas quantidades podem ser escritas como a·k e b·k, onde k é a constante de proporcionalidade. Quando uma das quantidades é conhecida, podemos achar k dividindo essa quantidade pelo número de partes correspondente. Por exemplo, se depois da chegada dos homens a razão é 5/8 e o número de homens é 45, então 45 = 5·k, logo k = 9, e as mulheres são 8·k = 72.

Esta questão exige aplicar essa propriedade duas vezes: primeiro para descobrir quantos homens e mulheres havia inicialmente, e depois para descobrir quantas mulheres chegaram, usando a nova razão e o novo número de homens.

O que a questão dá

  • total inicial de visitantes = 99

  • razão inicial homens/mulheres = 4/7

  • chegaram 9 homens

  • nova razão homens/mulheres = 5/8

O que queremos: o número total de visitantes após a chegada de todos os novos

Passo 1 — Descobrir quantos homens e mulheres havia no início

Precisamos saber a composição inicial do grupo para depois calcular quantas mulheres chegaram. A razão 4/7 nos diz que, a cada 11 pessoas (4 + 7), 4 são homens e 7 são mulheres. Como o total é 99, podemos dividir 99 por 11 para achar o valor de cada 'parte'.

Por que esta fórmula: Se a razão é 4/7, então homens = 4k e mulheres = 7k, onde k é a constante de proporcionalidade. A soma é 11k = 99, então k = 99/11 = 9. Essa é a forma de transformar uma razão em números absolutos.

k=994+7k = \frac{99}{4 + 7}

De onde vem cada valor: 9999 = enunciado: total inicial de visitantes · 4+74 + 7 = enunciado: razão inicial 4/7

k=9911k = \frac{99}{11}
k=9k = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as partes da razão e dividir 99 por 4 ou por 7, obtendo valores errados.

Passo 2 — Calcular o número inicial de homens e mulheres

Com a constante k = 9, podemos multiplicar pelas partes da razão para obter as quantidades reais. Isso é necessário para depois comparar com a nova situação.

Por que esta fórmula: Como homens = 4k e mulheres = 7k, basta substituir k pelo valor encontrado.

H=4⋅k,M=7⋅kH = 4 \cdot k, \quad M = 7 \cdot k

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: razão inicial 4/7 · 77 = enunciado: razão inicial 4/7 · kk = passo 1: 9

H=4⋅9=36,M=7⋅9=63=36 homense63mulheresH = 4 \cdot 9 = 36, \quad M = 7 \cdot 9 = 63 = \boxed{36\ \text{homens} \text{e} 63 \text{mulheres}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os fatores: multiplicar 4 por 7 e 7 por 4, ou usar k errado.

Passo 3 — Atualizar o número de homens após a chegada

Chegaram 9 homens, então o número de homens muda. Precisamos desse novo valor para usar na nova razão.

Por que esta fórmula: É uma simples adição: o novo total de homens é o antigo mais os que chegaram.

Hnovo=H+9H_{novo} = H + 9

De onde vem cada valor: HH = passo 2: 36 · 99 = enunciado: chegaram 9 homens

Hnovo=36+9=45 homensH_{novo} = 36 + 9 = \boxed{45\ \text{homens}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os 9 homens antes de aplicar a nova razão.

Passo 4 — Descobrir quantas mulheres há após a chegada

A nova razão é 5/8, e sabemos que o número de homens agora é 45. Isso nos permite achar a constante de proporcionalidade da nova situação e, com ela, o número de mulheres.

Por que esta fórmula: Se a razão é 5/8, então homens = 5k' e mulheres = 8k'. Como homens = 45, temos 5k' = 45, logo k' = 9. Então mulheres = 8k' = 72.

k′=Hnovo5,Mnovo=8⋅k′k' = \frac{H_{novo}}{5}, \quad M_{novo} = 8 \cdot k'

De onde vem cada valor: HnovoH_{novo} = passo 3: 45 · 55 = enunciado: nova razão 5/8 · 88 = enunciado: nova razão 5/8

k′=455=9,Mnovo=8⋅9=72=72 mulheresk' = \frac{45}{5} = 9, \quad M_{novo} = 8 \cdot 9 = 72 = \boxed{72\ \text{mulheres}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o número de homens antigo (36) em vez do novo (45), ou inverter a razão.

Passo 5 — Calcular o total final de visitantes

Agora temos o número de homens e mulheres após todas as chegadas. Somar esses dois valores dá o total final, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: O total é a soma dos dois grupos.

Total=Hnovo+MnovoTotal = H_{novo} + M_{novo}

De onde vem cada valor: HnovoH_{novo} = passo 3: 45 · MnovoM_{novo} = passo 4: 72

Total=45+72=117 visitantesTotal = 45 + 72 = \boxed{117\ \text{visitantes}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar o total inicial (99) com os 9 homens e com o número de mulheres que chegaram (9), mas esquecer de somar as mulheres que já estavam lá — ou seja, fazer 99 + 9 + 9 = 117, que por acaso dá certo, mas o raciocínio está errado. O correto é somar os totais finais de homens e mulheres.

Resposta: 117 visitantes — alternativa C

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