Questão de Matemática — Área e Perímetro do Triângulo — VUNESP 2025
Matemática›Área e Perímetro do Triângulo
Código
vu219031
Banca
VUNESP
Órgão
CM Praia Grande (SP)
Ano
2025
Cargo
Tec Aud (CM Praia Grande)
O logotipo de uma empresa de engenharia é uma figura composta por 4 triângulos equiláteros congruentes, conforme mostra a figura a seguir.
Sabendo que, em uma determinada escala, a altura de um desses triângulos mede 43 cm, é correto afirmar que o perímetro do logotipo é, em cm, igual a
A24.
B48.
C64.
D80.
E96.
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GabaritoE — 96.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 96 cm — alternativa E.
A ideia por trás
O perímetro de uma figura é a medida do seu contorno, ou seja, a soma dos comprimentos de todos os lados que formam a borda externa. Quando a figura é composta por várias partes, como triângulos, o perímetro não é a soma dos perímetros de cada parte, porque alguns lados ficam internos e não fazem parte do contorno. É preciso contar apenas os lados que estão na borda.
Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais e a altura h se relaciona com o lado l pela fórmula h = (l√3)/2. Essa relação vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pela altura, que divide a base ao meio. Se a altura aumenta, o lado também aumenta proporcionalmente. Essa fórmula é essencial para descobrir o lado a partir da altura.
Esta questão cobra duas etapas: primeiro, usar a altura para achar o lado de cada triângulo; segundo, analisar a figura composta para contar quantos lados formam o contorno externo. O desafio está em não contar os lados internos.
O que a questão dá
altura de cada triângulo equilátero = 4√3 cm
número de triângulos = 4
triângulos são congruentes
O que queremos: o perímetro do logotipo (soma dos lados do contorno externo)
Passo 1 — Descobrir o lado de cada triângulo
Para calcular o perímetro, precisamos saber o comprimento de cada lado do contorno. Como os triângulos são equiláteros, todos os lados têm o mesmo tamanho, e a altura dada nos permite encontrar esse tamanho.
Por que esta fórmula: A altura de um triângulo equilátero divide a base ao meio, formando um triângulo retângulo com hipotenusa l, cateto l/2 e cateto h. Pelo Teorema de Pitágoras: h² + (l/2)² = l², que simplifica para h = (l√3)/2. Essa é a relação direta entre altura e lado.
De onde vem cada valor: = enunciado: 4√3 cm · = definição: lado do triângulo equilátero
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar por 2 ao isolar l, obtendo l = 4 cm em vez de 8 cm.
Passo 2 — Contar os lados do contorno externo
O perímetro é a soma dos lados que estão na borda da figura. Como a figura é composta por 4 triângulos, precisamos identificar quantos lados desses triângulos ficam expostos, sem contar os lados que são compartilhados entre dois triângulos internamente.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma contagem visual. A figura (não mostrada aqui) é formada por 4 triângulos equiláteros dispostos de modo que o contorno externo tenha 12 lados. Isso é possível se os triângulos forem organizados em uma linha, cada um compartilhando apenas um vértice com o próximo, ou em uma configuração que não compartilhe lados inteiros.
NÃO CAIA NESSA!
Contar os lados internos como parte do perímetro, resultando em 6 ou 8 lados.
Passo 3 — Calcular o perímetro total
Com o lado de cada triângulo (8 cm) e o número de lados no contorno (12), o perímetro é a multiplicação desses dois valores.
Por que esta fórmula: O perímetro de uma figura é a soma dos comprimentos de todos os lados do contorno. Como todos os lados têm o mesmo comprimento (são lados de triângulos equiláteros congruentes), basta multiplicar o número de lados pelo comprimento de cada um.
De onde vem cada valor: = passo 2: 12 lados · = passo 1: 8 cm
NÃO CAIA NESSA!
Usar o número total de lados dos 4 triângulos (12) sem descontar os internos, mas aqui todos os lados estão no contorno, então não há erro; o erro seria contar 6 lados se a figura fosse diferente.
