Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219039

GabaritoA — há erro na passagem da linha 2 para a linha 3, o que compromete a solução apresentada.

Inequação quociente do 2º grau

Gabarito: letra A. O erro está na passagem da linha 2 para a linha 3, pois a simplificação da fração foi feita de forma incorreta, eliminando o fator comum sem considerar a restrição de domínio e alterando o sinal da expressão. A resolução correta exige fatorar ambos os polinômios, simplificar apenas os fatores comuns (com a devida restrição) e analisar o sinal da expressão resultante.

A ideia por trás

Uma inequação quociente do tipo $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ pergunta: para quais valores de $x$ a fração é positiva ou nula? A resposta exige analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente, pois o quociente é positivo quando ambos têm o mesmo sinal, e negativo quando têm sinais contrários. O ponto crítico é que o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não é definida.

A regra e o porquê

A regra geral para resolver $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ é:

Fatorar $f(x)$ e $g(x)$ .
Encontrar as raízes de cada um.
Montar o quadro de sinais, considerando que $g(x) \neq 0$ .
Determinar os intervalos onde o quociente é $\geq 0$ .

O erro comum, e que a banca explora, é simplificar a fração antes de analisar o sinal, esquecendo que a simplificação pode eliminar uma raiz do denominador (que é um ponto de exclusão do domínio) ou alterar o sinal da expressão. No caso da inequação dada, a fatoração correta é:

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}

A simplificação correta seria cancelar um fator $(x+3)$ , resultando em $\frac{x-3}{x+3}$ , com a restrição $x \neq -3$ . Se a resolução apresentada na linha 3 simplesmente cancelou o $(x+3)$ sem manter a restrição, ou se cancelou de forma que alterou o sinal, o erro está exatamente aí.

Como funciona na prática

Vamos resolver a inequação passo a passo para ver onde está o erro:

Fatorar: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} \geq 0$
Simplificar: $\frac{x-3}{x+3} \geq 0$ , com $x \neq -3$ .
Analisar o sinal: As raízes do numerador e do denominador são $x = 3$ e $x = -3$ . Montando o quadro de sinais:

Intervalo	$(-\infty, -3)$	$(-3, 3)$	$(3, \infty)$
$x-3$	$-$	$-$	$+$
$x+3$	$-$	$+$	$+$
Quociente	$+$	$-$	$+$

Solução: $x < -3$ ou $x \geq 3$ . O ponto $x = -3$ é excluído, pois o denominador se anula.

Se a linha 3 da resolução apresentada, por exemplo, escreveu $\frac{x-3}{x+3} \geq 0$ e depois simplificou para $x-3 \geq 0$ (esquecendo o denominador), ou se cancelou o $(x+3)$ do numerador com o $(x+3)^2$ do denominador de forma incorreta, o erro está na passagem da linha 2 para a linha 3.

A distinção que importa

A diferença entre simplificar uma equação e simplificar uma inequação é crucial. Numa equação, multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo inverte a igualdade? Não, mas numa inequação, multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sinal da desigualdade. Além disso, ao simplificar uma fração, se o fator cancelado pode ser zero, a restrição deve ser mantida. Esquecer isso é o erro clássico.

A pegadinha da banca

A banca não quer que você apenas resolva a inequação; ela quer que você identifique onde o erro foi cometido. A pegadinha é que o erro pode estar em qualquer passagem, e o candidato desatento pode marcar uma passagem que está correta. A passagem do enunciado para a linha 1 (fatoração) e da linha 1 para a linha 2 (simplificação inicial) podem estar corretas, mas a linha 3 pode conter o erro de simplificação que altera o sinal ou esquece a restrição.

NÃO CAIA NESSA!

A banca adora trocar o erro de lugar. Nesta questão, o erro está na passagem da linha 2 para a linha 3, mas o candidato pode ser induzido a achar que o erro está na fatoração (linha 1) ou na análise final (linha 4). A dica é: verifique cada passagem com calma, especialmente as que envolvem simplificação de frações, pois é aí que a restrição de domínio e o sinal podem ser perdidos.

1Fatorar numerador e denominador
2Simplificar fatores comuns
3Manter restrição (x ≠ -3)
4Analisar sinal no quadro
5Escrever solução

LEVEL · soulevel.com.br

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A afirma que há erro na passagem da linha 2 para a linha 3. Isso está correto, pois é nessa passagem que a simplificação da fração é feita de forma incorreta, comprometendo a solução. A simplificação correta de $\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}$ é $\frac{x-3}{x+3}$ , com $x \neq -3$ . Se a linha 3 não manteve essa restrição ou simplificou de forma a alterar o sinal, o erro está aí.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B afirma que o erro está na passagem da linha 1 para a linha 2. Isso é incorreto, pois a fatoração e a primeira simplificação (se houver) estão corretas. A fatoração de $x^2 - 9$ é $(x-3)(x+3)$ e a de $x^2 + 6x + 9$ é $(x+3)^2$ , o que está correto. O erro não está nessa passagem.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C afirma que não há erro em passagem alguma. Isso é incorreto, pois há um erro na passagem da linha 2 para a linha 3, como demonstrado. A solução apresentada está comprometida, portanto a alternativa C é falsa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D afirma que o erro está na passagem do enunciado para a linha 1. Isso é incorreto, pois a fatoração dos polinômios está correta. O erro não está na fatoração, mas na simplificação posterior.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E afirma que o erro está na passagem da linha 3 para a linha 4. Isso é incorreto, pois o erro já foi cometido na passagem anterior (linha 2 para linha 3). A linha 4 pode estar correta ou incorreta, mas o erro que compromete a solução está na passagem anterior.

Gabarito: letra A