Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Geometria Analítica: equação da reta e vetor normal

Gabarito: letra B. A equação $ax + by = c$ representa uma reta cujo vetor normal é $(a, b)$ — os coeficientes de $x$ e $y$ — e que passa pelo ponto $P = (0, \frac{c}{b})$, obtido fazendo $x = 0$ na equação. É exatamente essa correspondência entre a equação geral da reta e seu vetor normal que a alternativa correta espelha.

A questão explora a interpretação geométrica da equação linear $ax + by = c$ no plano. Quando escrevemos uma reta na forma geral $ax + by + c = 0$ (ou, como no enunciado, $ax + by = c$), os coeficientes $a$ e $b$ têm um significado geométrico preciso: eles formam o vetor normal à reta, ou seja, um vetor perpendicular à direção da reta. Isso vem do fato de que, se tomarmos dois pontos quaisquer $P_1$ e $P_2$ sobre a reta, o vetor $\vec{P_1P_2}$ é paralelo à reta, e o produto escalar $(a, b) \cdot \vec{P_1P_2} = 0$, pois ambos os pontos satisfazem a equação. Portanto, o vetor $(a, b)$ é ortogonal a qualquer vetor diretor da reta.

Para encontrar um ponto $P$ que pertença à reta, basta escolher um valor conveniente para uma das coordenadas e calcular a outra. O ponto mais simples de obter é a interseção com o eixo $y$, que ocorre quando $x = 0$. Substituindo $x = 0$ na equação $ax + by = c$, obtemos $b \cdot y = c$, logo $y = \frac{c}{b}$ (desde que $b \neq 0$). Assim, o ponto $P = (0, \frac{c}{b})$ é um ponto da reta. Essa é a forma mais direta de identificar o ponto, e é o que a alternativa correta apresenta.

A pegadinha clássica desta questão é confundir o vetor normal com o vetor diretor da reta. O vetor diretor é paralelo à reta e, para a equação $ax + by = c$, pode ser dado por $(-b, a)$ ou $(b, -a)$ — note que o produto escalar $(a, b) \cdot (-b, a) = -ab + ab = 0$, confirmando a ortogonalidade. A alternativa A, por exemplo, apresenta o vetor $(-a, b)$, que não é nem o vetor normal nem o vetor diretor correto. Outra pegadinha é trocar o ponto de interseção com o eixo $y$ pelo ponto de interseção com o eixo $x$, que seria $(\frac{c}{a}, 0)$ — é o que fazem as alternativas C e E.

Guarde a distinção fundamental: na equação $ax + by = c$, o vetor normal é sempre $(a, b)$, e o ponto mais fácil de obter é a interseção com o eixo $y$, $(0, \frac{c}{b})$. É exatamente nesses dois elementos que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta o vetor $(-a, b)$ como componente do vetor normal. O vetor normal da reta $ax + by = c$ é $(a, b)$, não $(-a, b)$. O vetor $(-a, b)$ não tem relação direta com a equação dada — ele não é paralelo à reta nem perpendicular a ela (o produto escalar com o vetor diretor $(b, -a)$ seria $-ab - ab = -2ab$, que não é zero em geral). O ponto $(0, \frac{c}{b})$ está correto, mas o vetor errado invalida a alternativa.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O ponto $P = (0, \frac{c}{b})$ é obtido fazendo $x = 0$ na equação $ax + by = c$, resultando em $y = \frac{c}{b}$. O vetor normal $\mathbf{n} = (a, b)$ é formado pelos coeficientes de $x$ e $y$ na equação geral da reta. Ambos os elementos estão corretos e correspondem exatamente à interpretação geométrica descrita no enunciado: a reta passa por $P$ e é ortogonal à direção de $\mathbf{n}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O ponto apresentado é $(0, \frac{c}{a})$, que seria a interseção com o eixo $y$ se a equação fosse $ay + bx = c$ — mas não é o caso. Para $x = 0$, o correto é $y = \frac{c}{b}$. O vetor $(a, b)$ está correto, mas o ponto está errado, pois troca o denominador $b$ por $a$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O ponto $(0, c)$ não pertence à reta $ax + by = c$ em geral. Substituindo $x = 0$, teríamos $b \cdot y = c$, logo $y = \frac{c}{b}$, e não $c$. O ponto $(0, c)$ só pertenceria à reta se $b = 1$. O vetor $(a, b)$ está correto, mas o ponto está errado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta o ponto $(0, \frac{c}{a})$, que é a interseção com o eixo $y$ incorreta (o correto é $\frac{c}{b}$), e o vetor $(-a, b)$, que não é o vetor normal da reta. Ambos os elementos estão errados: o ponto deveria ter denominador $b$, e o vetor normal deveria ser $(a, b)$.

Gabarito: letra B