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Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2025

MatemáticaCálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
vu219044
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )
Em um estacionamento foi construída uma rampa com 7 m de comprimento, para o acesso do primeiro ao segundo andar. Sabendo-se que o ângulo formado entre a rampa e o plano do segundo andar é de \frac{5 π}{6} rad, e que   os planos do primeiro e do segundo andares são horizontais, estima-se que a altura entre os andares é de
  1. A4,0 m.
  2. B2,0 m.
  3. C2,5 m.
  4. D3,5 m.
  5. E3,0 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 3,5 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 3,5 m — alternativa D.

A ideia por trás

No triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a ele e a hipotenusa. A rampa, o chão e a altura formam um triângulo retângulo: a rampa é a hipotenusa, a altura é o cateto oposto ao ângulo que a rampa faz com o chão, e o chão é o cateto adjacente.

A relação fundamental é sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa. Se você conhece a hipotenusa e um ângulo agudo, pode achar o cateto oposto multiplicando a hipotenusa pelo seno do ângulo. O seno de um ângulo cresce de 0 a 1 conforme o ângulo vai de 0° a 90°, e ângulos suplementares (que somam 180°) têm o mesmo seno.

Esta questão cobra a aplicação do seno, mas com uma pegadinha: o ângulo dado é entre a rampa e o teto (segundo andar), não com o chão. É preciso descobrir o ângulo agudo com o chão antes de usar a fórmula.

O que a questão dá

  • comprimento da rampa = 7 m

  • ângulo entre a rampa e o plano do segundo andar = 5π/6 rad

  • planos do primeiro e segundo andares são horizontais

O que queremos: a altura entre os andares

Passo 1 — Converter radianos em graus

O ângulo foi dado em radianos, mas para visualizar o triângulo e usar os ângulos notáveis é mais fácil pensar em graus. A conversão é direta: π rad = 180°.

Por que esta fórmula: A relação entre radianos e graus é que π rad equivale a 180°, então multiplicamos o valor em radianos por 180/π.

θgraus=θrad×180∘π\theta_{graus} = \theta_{rad} \times \frac{180^\circ}{\pi}

De onde vem cada valor: θrad\theta_{rad} = enunciado: 5π/6 rad · π\pi = constante: π

θgraus=5π6×180∘π=5×180∘6=150 ∘\theta_{graus} = \frac{5\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = \boxed{150\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de simplificar o π e acabar com um número estranho; lembre que π cancela.

Passo 2 — Achar o ângulo com o chão

O ângulo de 150° é entre a rampa e o teto (segundo andar). Como o teto é paralelo ao chão, a rampa forma com o chão um ângulo que é o suplementar: 180° - 150° = 30°. Esse é o ângulo agudo que precisamos para o triângulo retângulo.

Por que esta fórmula: Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos colaterais internos somam 180°. Aqui, o ângulo com o teto e o ângulo com o chão são colaterais internos, então são suplementares.

α=180∘−θgraus\alpha = 180^\circ - \theta_{graus}

De onde vem cada valor: θgraus\theta_{graus} = passo 1: 150°

α=180∘−150∘=30 ∘\alpha = 180^\circ - 150^\circ = \boxed{30\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 150° diretamente no seno, sem perceber que o ângulo com o chão é o suplementar.

Passo 3 — Calcular a altura com o seno

Agora temos o ângulo agudo (30°) e a hipotenusa (7 m). A altura é o cateto oposto a esse ângulo, então usamos a definição de seno.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, sen(α) = cateto oposto / hipotenusa. Isolando o cateto oposto, multiplicamos a hipotenusa pelo seno do ângulo.

h=L⋅\sen(α)h = L \cdot \sen(\alpha)

De onde vem cada valor: LL = enunciado: 7 m · α\alpha = passo 2: 30°

h=7⋅\sen(30∘)=7⋅0,5=3,5 mh = 7 \cdot \sen(30^\circ) = 7 \cdot 0{,}5 = \boxed{3{,}5\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar sen(150°) = 0,5 também dá certo, mas é por coincidência; o correto é usar o ângulo com o chão.

Resposta: 3,5 m — alternativa D

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