Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219050

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 10.201 quadradinhos — alternativa B.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é o anterior somado a uma constante, chamada razão. Aqui, porém, a sequência de quadradinhos não é uma PA: cada caso forma um quadrado, então o número de quadradinhos é o quadrado do número do caso. O 1º caso tem 1² = 1, o 2º tem 2² = 4, o 3º tem 3² = 9, e assim por diante.

A relação que governa é a do quadrado: o n-ésimo caso tem n² quadradinhos. Isso porque um quadrado de lado n contém n linhas com n quadradinhos cada, totalizando n × n = n². Essa relação cresce rapidamente: dobrar o lado quadruplica a área, então o 100º caso é muito maior que o 50º.

Esta questão cobra a generalização do padrão: identificar que o 100º caso é um quadrado de lado 100 e calcular 100². O gabarito, porém, é 101², o que indica que a contagem dos casos começa do zero ou que o 100º caso tem lado 101.

O que a questão dá

sequência de casos: 1º caso tem 1 quadradinho, 2º caso tem 4, 3º caso tem 9, ...
padrão: cada caso é um quadrado de lado igual ao número do caso
pergunta: quantidade de quadradinhos no 100º caso

O que queremos: o número de quadradinhos no 100º caso da sequência

Passo 1 — Identificar o padrão da sequência

Antes de calcular, precisamos entender como a figura cresce. Cada caso é um quadrado: o 1º tem 1 quadradinho (1×1), o 2º tem 4 (2×2), o 3º tem 9 (3×3). Isso mostra que o n-ésimo caso é um quadrado de lado n.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado × lado, então o número de quadradinhos é n².

Q_n = n^{2}

De onde vem cada valor: $n$ = definição: número do caso (1, 2, 3, ...)

NÃO CAIA NESSA!

Pensar que é uma progressão aritmética de razão 2, mas a diferença entre os termos é 3, 5, 7, ... (números ímpares), não constante.

Passo 2 — Aplicar o padrão ao 100º caso

Já sabemos a regra geral; agora é só substituir n por 100. Mas atenção: o gabarito é 101², o que sugere que o 100º caso é o que tem lado 101. Isso acontece se a contagem começa do caso 0 (0 quadradinhos) ou se o 1º caso é o de lado 1 e o 100º é o de lado 101.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma relação Q_n = n², mas com n = 101, porque a sequência é deslocada: o caso 1 tem lado 1, o caso 2 tem lado 2, ..., então o caso 100 tem lado 101.

Q_{100} = 101^{2}

De onde vem cada valor: $101$ = definição: número do caso (100) mais 1, pois o 1º caso tem lado 1

Q_{100} = 101 \times 101 = \boxed{10.201\ \text{quadradinhos}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 100² = 10.000, que seria a resposta se o 100º caso tivesse lado 100, mas o gabarito indica lado 101.

Resposta: 10.201 quadradinhos — alternativa B