Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 60 horas — alternativa B.

A ideia por trás

Uma função exponencial descreve grandezas que mudam por um fator constante a cada passo igual de tempo. Aqui, a cada 24 horas a massa do medicamento é multiplicada por 1/4, ou seja, cai para um quarto do valor anterior — é um decaimento exponencial, típico de meia-vida de substâncias no organismo.

Na expressão a(t) = 120 · (1/4)^t, o 120 é a dose inicial, o 1/4 é o fator de decaimento por período e t é o número de períodos de 24 horas. Como a base está entre 0 e 1, a função é decrescente: quanto maior t, menor a massa restante. Para descobrir o tempo em que a massa atinge um valor, igualamos a(t) ao valor dado e resolvemos a equação exponencial, reduzindo os dois lados à mesma base para igualar os expoentes.

Esta questão pede exatamente isso: dado o valor final de massa, encontrar o expoente t que o produz e depois converter esse t (que está em períodos de 24 horas) para horas.

O que a questão dá

• dose inicial = 120 μg

• massa restante procurada = 3,75 μg

• modelagem: a(t) = 120 · (1/4)^t

• t é medido em períodos de 24 horas

O que queremos: o tempo em horas após a ingestão para restarem 3,75 μg do medicamento

Passo 1 — Montar a equação exponencial

Queremos o instante em que a massa restante é 3,75 μg. Como a função nos dá a massa em função de t, basta substituir a(t) por 3,75 e igualar à expressão da função.

Por que esta fórmula: É a própria modelagem dada no enunciado, aplicada ao valor procurado.

De onde vem cada valor: $3{,}75$ = enunciado: massa restante procurada · $120$ = enunciado: dose inicial · $\frac{1}{4}$ = enunciado: fator de decaimento por período

Passo 2 — Isolar a potência

Para resolver uma equação exponencial, precisamos deixar a potência sozinha de um lado. Dividir os dois lados por 120 isola (1/4)^t.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 120 é a operação inversa da multiplicação por 120, que está aplicada à potência.

De onde vem cada valor: $3{,}75$ = passo 1 · $120$ = passo 1

Passo 3 — Simplificar a fração

Para comparar potências, é mais fácil trabalhar com frações simples. A fração 3,75/120 pode ser simplificada: multiplicando por 100 fica 375/12000, e dividindo por 375 dá 1/32.

Por que esta fórmula: Simplificar a fração não muda seu valor, apenas a torna mais reconhecível como potência de 2.

De onde vem cada valor: $3{,}75$ = passo 2 · $120$ = passo 2 · $32$ = constante: 32 = 2^5, pois 12000/375 = 32

Passo 4 — Reduzir à mesma base

Com os dois lados como frações, podemos escrever ambos como potências de 2: 1/4 = 1/2² e 1/32 = 1/2⁵. Isso permite igualar os expoentes.

Por que esta fórmula: A propriedade das potências: (a^m)^n = a^(m·n). Aqui, (1/2²)^t = 1/2^(2t).

De onde vem cada valor: $\frac{1}{4}$ = passo 2 · $\frac{1}{32}$ = passo 3

Passo 5 — Igualar os expoentes

Com as bases iguais (2), a igualdade só é verdadeira se os expoentes forem iguais. Isso transforma a equação exponencial em uma equação linear simples.

Por que esta fórmula: A função exponencial é injetora: se a^x = a^y, então x = y, desde que a ≠ 1 e a > 0.

De onde vem cada valor: $2t$ = passo 4: expoente do lado esquerdo · $5$ = passo 4: expoente do lado direito

Passo 6 — Converter períodos em horas

O enunciado pede o tempo em horas, mas t é o número de períodos de 24 horas. Cada período vale 24 horas, então multiplicamos t por 24.

Por que esta fórmula: A conversão é direta: 1 período = 24 horas, logo t períodos = t × 24 horas.

De onde vem cada valor: $t$ = passo 5: 2,5 · $24$ = enunciado: cada período tem 24 horas

Resposta: 60 horas — alternativa B